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Décomposition de Wold

La décomposition de Wold ou décomposition de Wold-von Neumann est un résultat d'analyse fonctionnelle décrivant les isométries d'un espace de Hilbert.

Énoncé

Définition — Soient H un espace de Hilbert et T:H → H une isométrie. On dit que T est un opérateur de décalage si, pour tout élément x de H, quand .

Théorème — Soient H un espace de Hilbert et T:H → H une isométrie. Il existe F et G deux sous-espaces de H, en somme directe et stables par T, tels que est un opérateur de décalage et est un opérateur unitaire.

Version pour un nombre infini d'isométries

Définition — Soit une suite d'espaces de Hilbert. Soit, pour tout , une isométrie. On dit que est une famille marquante s'il existe une suite d'espaces de Hilbert disjoints et des opérateurs unitaires vérifiant, pour tout , la relation

.

Théorème — Soit une suite d'espaces de Hilbert. Soit, pour tout , une isométrie. Il existe, pour tout , des sous-espaces de en somme directe, qu'on note et , tels que

  • ;
  • ;
  • la famille est marquante ;
  • est un opérateur unitaire.

Analyse des processus stationnaires

En statistiques, une version du théorème de Wold permet de décomposer tout processus faiblement stationnaire en la somme d'une partie « déterministe » et d'une partie « stochastique ».

Théorème — Soit un processus stationnaire au sens faible. Il existe une suite de nombres réels , des processus faiblement stationnaires et tels que

,

et les propriétés suivantes sont vérifiées :

  • ;
  • ;
  • si ;
  • ;
  • le processus est déterministe, c'est-à-dire qu'il existe des réels tels que, pour tout , quand .

Références

  • (en) Marvin Rosenblum et James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, Oxford University Press, , 161 p. (ISBN 0-19-503591-7, lire en ligne)
  • (en) Tiberiu Constantinescu, Schur parameters, factorization and dilation problems, vol. 82, Basel/Boston/Berlin, Birkhäuser, coll. « Operator theory, Advances and applications », , 253 p. (ISBN 3-7643-5285-X, lire en ligne)
  • (en) Herman J. Bierens, Introduction to the mathematical and statistical foundations of econometrics, Cambridge University Press, coll. « Themes in modern econometrics », , 323 p. (ISBN 978-0-521-54224-1, lire en ligne)

Voir aussi

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