Décomposition de Doob-Meyer

La décomposition de Doob-Meyer permet de décomposer un processus stochastique intégrable adapté en une martingale et un processus prévisible :

Soit ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ un processus intégrable ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$-adapté. La décomposition de Doob-Meyer est définie de la manière suivante :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,X_{n}=X_{0}+A_{n}+M_{n}}$

• ${\displaystyle A_{0},M_{0}:=0}$

• ${\displaystyle \forall n\geq 1,A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1})}$
• ${\displaystyle \forall n\geq 1,M_{n}:=\sum _{k=1}^{n}(\Delta X_{k}-\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1}))}$

Où ${\displaystyle \{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ est une ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$-martingale et ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ est un processus ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$-prévisible. Cette décomposition est unique.

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