Courbe de la crêpe

Une paramétrisation cartésienne possible est :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=b\sin(2t)\\\end{cases}}}$

C'est donc une courbe biquadratique rationnelle.

La courbe de la crêpe possède trois définitions : elle est l'intersection d'un cylindre de révolution ${\displaystyle r=a}$ avec

• un paraboloïde hyperbolique de même axe que le cylindre ${\displaystyle a^{2}z=2bxy}$
• un conoïde de Plücker de même axe ${\displaystyle z={\frac {2bxy}{x^{2}+y^{2}}}}$
• un cylindre parabolique de droite sommitale perpendiculaire à l'axe du cylindre ${\displaystyle a^{2}z=b(2x^{2}-a^{2})}$.

• 
  avec le paraboloïde hyperbolique
• 
  avec le conoïde de Plücker
• 
  avec le cylindre parabolique

• La courbe de la crêpe est une couronne sinusoïdale.
• La projection de la courbe sur un plan orthogonal à l'axe du cylindre donne un cercle ; les projections sur les plans d'équations ${\displaystyle (x=0)}$ et ${\displaystyle (y=0)}$ donnent des lemniscates de Gerono isométriques ; les projections sur les plans d'équations ${\displaystyle (x+y=0)}$ et ${\displaystyle (x-y=0)}$ donnent des portions de parabole.

• Lemniscate de Gerono