Coordonnées paraboloïdales

Les coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y,z)}$ peuvent être produites à partir des coordonnées ellipsoïdales ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ grâce aux équations[1] :

${\displaystyle x^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}$

${\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -b-c}$

avec :

${\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}$

Par conséquent, les surfaces de constante ${\displaystyle \mu }$ sont des paraboloïdes elliptiques à ouverture vers le bas :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )}$

De même, les surfaces de constante ${\displaystyle \nu }$ sont des paraboloïdes elliptiques à ouverture vers le haut :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}$

alors que les surfaces de constante ${\displaystyle \lambda }$ sont des paraboloïdes hyperboliques :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}$

Les facteurs d'échelle pour les coordonnées paraboloïdales ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ sont[2] :

${\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$

Par conséquent, l'élément de volume infinitésimal est le suivant :

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

On peut exprimer les opérateurs différentiels courants dans les coordonnées ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales de ces opérateurs, qui sont applicables à toutes les coordonnées orthogonales tridimensionnelles. Par exemple, l'opérateur de gradient est le suivant :

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$

et le Laplacien s'écrit comme suit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$

Les coordonnées paraboloïdales peuvent être utiles pour résoudre certaines équations aux dérivées partielles. Par exemple, l'équation de Laplace et l'équation de Helmholtz sont toutes deux séparables en coordonnées paraboloïdales. Par conséquent, les coordonnées peuvent être utilisées pour résoudre ces équations dans des géométries à symétrie paraboloïdale, c'est-à-dire avec des conditions aux limites spécifiées sur des sections de paraboloïdes.

L'équation de Helmholtz est : ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$ . En prenant ${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$, les équations séparées deviennent[3] :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \alpha _{2}}$ et ${\displaystyle \alpha _{3}}$ sont les deux constantes de séparation. De même, les équations séparées pour l'équation de Laplace peuvent être obtenues en prenant ${\displaystyle k=0}$ dans l'équation ci-dessus.

Chacune des équations séparées peut être exprimée sous la forme d'une équation de Baer. La résolution directe des équations est cependant difficile, en partie parce que les constantes de séparation ${\displaystyle \alpha _{2}}$ et ${\displaystyle \alpha _{3}}$ apparaissent simultanément dans les trois équations.

Dans la droite ligne de l'approche ci-dessus, les coordonnées paraboloïdales ont été utilisées pour résoudre le champ électrique entourant un paraboloïde conducteur[4].

• (en) Lew Yan Voon LC et Willatzen M, Separable Boundary-Value Problems in Physics, Wiley-VCH, 2011 (ISBN 978-3-527-41020-0)
• (en) Morse PM et Feshbach H, Methods of Theoretical Physics, Part I, New York, McGraw-Hill, 1953 (ISBN 0-07-043316-X, LCCN 52011515), p. 664
• (en) Margenau Henry et Murphy GM, The Mathematics of Physics and Chemistry, New York, D. van Nostrand, 1956 (LCCN 55010911, lire en ligne), p. 184–185
• (en) Korn GA et Korn Theresa M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York, McGraw-Hill, 1961 (LCCN 59014456, lire en ligne), 180
• (en) Arfken G, Mathematical Methods for Physicists, Orlando, FL, Academic Press, 1970, p. 119–120
• (en) Sauer R et Szabó I, Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, New York, Springer Verlag, 1967 (LCCN 67025285), p. 98
• (en) Zwillinger D, Handbook of Integration, Boston, MA, Jones and Bartlett, 1992 (ISBN 0-86720-293-9), p. 114 (Similaire à Morse & Feshbach (1953), où ξ_k est remplacé par u_k)
• (en) Moon P et Spencer DE, Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, New York, Springer-Verlag, 1988 (ISBN 978-0-387-18430-2), « Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ) », p. 44–48 (Tableau 1.11)

• (en) « Description MathWorld des coordonnées paraboloïdales confocales »