Construction des octonions basée sur le corps à 8 éléments

Cet article de mathématiques décrit une construction de l'algèbre des octonions utilisant le corps à huit éléments.

Cette construction de l'algèbre est une alternative à celle de Cayley-Dickson appliquée aux quaternions, permettant une vérification moins ardue et plus élégante des propriétés de la base canonique des octonions[1]. Pour justifier l'affirmation qu'on obtient bien ainsi la même algèbre (à isomorphisme près), la preuve de cet isomorphisme est donnée à la fin (cf. corollaire 2 ).

Définition de l'algèbre

On part d'un espace vectoriel V de dimension 8 sur $\mathbb {R}$ dont on indexe une base par les éléments du corps fini à 8 éléments F₈. La base en question sera donc notée (e_x) où x parcourt ce corps. On fait de V une algèbre (non nécessairement associative ni commutative) sur $\mathbb {R}$ en définissant le produit de deux éléments de base par la formule suivante, où x et y sont des éléments quelconques de F₈ :

(*)

e_{x}e_{y}=(-1)^{h(x,y)}e_{x+y}

où h(x,y) = Tr(x⁶y)

Ici, Tr désigne la fonction Trace Tr_F₈/F₂ de F₈ sur le corps fini F₂ (ou Z/2Z). C'est l'application de F₈ dans F₂ définie par :

Tr(x) = x + x² + x⁴

En effet, F₈ étant une exension galoisienne finie sur F₂, Tr(x) est la somme des s(x) où s parcourt le groupe de Galois de F₈ sur F₂. Ce groupe est engendré par l'automorphisme de Frobenius $x\to x^{2}$ , et les éléments de G sont les automorphismes $x\to x$ , $x\to x^{2}$ et $x\to x^{4}$ .

Premières conséquences

Compte tenu du fait que x⁷ = 1 pour tout x non nul dans F₈ (car le groupe des éléments non nuls de F₈ est d'ordre 7), on a :

h(x,y)=\mathrm {Tr} (x^{6}y)=x^{6}y+x^{12}y^{2}+x^{24}y^{4}=x^{6}y+x^{5}y^{2}+x^{3}y^{4}

La fonction Tr est une forme linéaire non nulle sur F₈ considéré comme espace vectoriel de dimension 3 sur F₂. Son noyau H est donc de dimension 2 et contient trois éléments non nuls w qui vérifient donc w + w² + w⁴ = 0, d'où 1 + w + w³ = 0, c'est-à-dire w³ = w + 1 (on est en caractéristique 2). On vérifie qu'un tel w engendre le groupe multiplicatif F₈*. Ainsi F₈ = F₂[w] et (1, w, w²) est une base de F₈ sur F₂. Dans cette base, Tr vérifie Tr(1) = 1, Tr(w) = 0, Tr(w²) = 0, d'où :

H = F₂w + F₂w² = {0, w, w², w + w²}

où w + w² = w⁴. Les éléments de trace 1 sont ceux de :

F₈\H = 1 + H = {1, 1 + w, 1 + w², 1 + w + w²} = {1, w³, w⁶, w⁵}

puisque 1 + w² = (w + w³)/w = 1/w = w⁶ et 1 + w + w² = (w³ - 1)/(w - 1) = w/w³ = w^-2 = w⁵.

Symétries des éléments de base

De la définition du produit (*) résulte une symétrie circulaire des éléments de la base choisie de V autres que 1, comparable à celle des quaternions i,j,k. Comme x⁶y = y/x si x est non nul, on a h(zx,zy) = h(x,y) pour x, y, z dans F₈ tels que z soit non nul. Par suite, pour z dans F₈*, l'endomorphisme u_z de V tel que u_z(e_x) = e_zx pour x dans F₈ est un automorphisme d'algèbre de V. Si on pose $i_{m}=e_{w^{m}}$ pour $0\leq m\leq 6$ , alors u_w transforme i_m en i_m+1 pour m<6, i₆ en i₀ et e₀ en lui-même.

L'automorphisme de Frobenius $t:x\to x^{2}$ de F₈ fournit un autre automorphisme d'algèbre de V puisque Tr(t(x)) = Tr(x): celui-ci transforme e_x en e_t(x) et est d'ordre 3.

Propriétés fondamentales de la multiplication des éléments de base

1) e₀ est élément unité de V.

2) Pour tout x dans F₈*, e_x² = - e₀

3) Pour x, y dans F₈, e_y e_x = +/- e_x e_y où le signe moins est à prendre si et seulement si x et y sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel F₈ sur le corps F₂.

4) Pour x, y, z dans F₈, (e_x e_y) e_z = +/- e_x (e_y e_z) où le signe moins est à prendre si et seulement si x, y et z sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel F₈ sur F₂.

Démonstration

1) résulte de x⁶y = 0 si x = 0 ou y = 0, d'où h(x,y) = 0 dans ce cas.

2) En effet, si x est non nul, x⁶x = x⁷ = 1, d'où h(x,x) = Tr(1) = 1.

3) En effet, d'une part si x et y sont linéairement dépendants, alors x = 0 ou y = 0 ou x = y, d'où le résultat dans ce cas. Sinon x et y sont non nuls, et z = y/x est différent de 1, d'où :

{\begin{aligned}h(x,y)+h(y,x)+1&=\mathrm {Tr} (z)+\mathrm {Tr} (1/z)+\mathrm {Tr} (1)\\&=(z+z^{2}+z^{4})+(z^{6}+z^{5}+z^{3})+1={\frac {1-z^{7}}{1-z}}=0\end{aligned}}

puisque z⁷ = 1. D'où h(y,x) = h(x,y) + 1 ce qui démontre ce cas.

4) En effet, si on calcule les deux produits avec la formule (*), on trouve qu'il suffit de prouver que : : $h(x,y)+h(x+y,z)=T(x,y,z)+h(x,y+z)+h(y,z)$ où T : (F₈)³ -> F₂ est définie par T(x,y,z) = 1 si x, y et z sont linéairement indépendants, et T(x,y,z) = 0 sinon, ce qui signifie que T(x,y,z) n'est rien d'autre que le déterminant de x, y, z par rapport à une base quelconque de F₈ sur le corps F₂. Il s'agit donc de prouver que $A:(x,y,z)\to h(x,y)+h(x+y,z)+h(y,z)+h(x,y+z)$ est trilinéaire, alternée et vérifie A(1,w,w²) = 1. Or, par définition de h, A(x,y,z) = Tr(a) où :

{\begin{aligned}a&=x^{6}y+(x+y)^{6}z+y^{6}z+x^{6}(y+z)=(x^{6}+y^{6}+(x+y)^{6})z\\&=(x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4})z=x^{4}y^{2}z+x^{2}y^{4}z\end{aligned}}

d'où la multilinéarité puisque les automorphismes $t:x\to x^{2}$ et $t^{2}:x\to x^{4}$ sont F₂-linéaires. Puis la formule évidente Tr(u²) = Tr(u) montre que A(y,z,x) = A(x,y,z) et comme A(x,x,y) = Tr(0) = 0, on a A(y,x,x) = A(x,y,x) = A(x,x,y) = 0 et A est alternée. Enfin A(1,w,w²) = Tr(w⁴ + w⁶) = Tr(w + 1) = 1.

Conséquences

Corollaire 1

Si x et y sont deux éléments de F₈ linéairement indépendants sur F₂, et S le sous-espace vectoriel de F₈ qu'ils engendrent, alors $\{e_{z},z\in S\}$ est une base d'une sous-algèbre W de V isomorphe à l’algèbre des quaternions $\mathbb {H}$ sur $\mathbb {R}$ . En outre, par transport de structure (en), e₀ est son propre conjugué et celui de e_z pour z non nul dans S est - e_z.

Démonstration

En effet, il est clair que W est bien une sous-algèbre contenant e₀ = 1, associative selon la propriété 4). Posons u = e_x , v = e_y , w = uv = (-1)^h(x,y) e_x+y . Comme u² = v² = -1 et vu = -uv, la base (1,u,v,w) de W admet la même table de multiplication que la base (1,i,j,k) de $\mathbb {H}$ . La dernière assertion est alors évidente.

Corollaire 2

V est isomorphe à l'algèbre des octonions 𝕆.

En effet, soit (x,y,z) une base de F₈ sur le corps F₂ et définissons W et S comme dans le corollaire 1. Posons $j=e_{z}$ . L'application :

(q,q')\in W\times W\to q+q'j\in V

est évidemment un isomorphisme d'espaces vectoriels sur $\mathbb {R}$ . Les éléments de V peuvent ainsi être mis en correspondance avec un couple de quaternion. Il suffit alors de prouver que le produit dans V correspond au produit des octonions comme couple de quaternions et vérifier que :

q(q'j)=(q'q)j

(qj)q'=(q\,{\overline {q'}})j

(qj)(q'j)=-{\overline {q'}}q

pour tout

q,q'

dans W.

Démonstration

Par bilinéarité, on peut se restreindre au cas où $q=e_{r}$ et $q'=e_{s}$ , avec r et s dans S. Pour cela, on note que $jq'={\overline {q'}}j$ d'après la propriété 3). Si r et s sont linéairement indépendants sur F₂, alors il en est de même de r, s, z , et de r + z, s, z. Donc, en utilisant la propriété 4) :

q(q'j)=-(qq')j=(q'q)j

(qj)q'=-q(jq')=-q({\overline {q'}}j)=(q{\overline {q'}})j

(qj)(q'j)=-((qj)q')j=-((q{\overline {q'}})j)j=-(q{\overline {q'}})(jj)=q{\overline {q'}}=-{\overline {q'}}q

On applique le même type de raisonnement si r et s sont linéairement dépendants.

Notes et références

(en) Tathagata Basak, « The Octonions as a Twisted Group Algebra », Finite Fields and Their Applications, n^o 50,‎ 2018, p. 113--121 (lire en ligne).

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