Conjecture de Szpiro
En théorie des nombres, la conjecture de Szpiro met en relation le conducteur (en) et le discriminant d'une courbe elliptique. Sous une forme légèrement modifiée, elle est équivalente à la conjecture abc bien connue. Elle porte le nom de Lucien Szpiro qui l'a formulée dans les années 1980.
Enoncé original
La conjecture stipule que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec un discriminant minimal Δ et un conducteur f, nous avons
Conjecture de Szpiro modifiée
La conjecture de Szpiro modifiée déclare que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec pour invariants c4, c6 et pour conducteur f (en utilisant la notation de l'algorithme de Tate (en)), nous avons
Preuves revendiquées
En août 2012, Shinichi Mochizuki revendique une preuve de la conjecture de Szpiro en développant une nouvelle théorie appelée théorie de Teichmüller inter-universelle (en) (IUTT)[1]. Cependant, les articles n'ont pas été acceptés par la communauté mathématique comme fournissant une preuve de la conjecture[2] - [3] - [4], avec Peter Scholze et Jakob Stix concluant en mars 2018 que l'écart était « si grave que ... de petites modifications ne sauvera pas la stratégie de preuve »[5] - [6] - [7].
Références
- Ball, « Proof claimed for deep connection between primes », Nature,‎ (DOI 10.1038/nature.2012.11378, lire en ligne, consulté le )
- (en) Timothy Revell, « Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary' », New Scientist,‎ (lire en ligne).
- Conrad, « Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad », (consulté le )
- Castelvecchi, « The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof », Nature, vol. 526, no 7572,‎ , p. 178–181 (PMID 26450038, DOI 10.1038/526178a, Bibcode 2015Natur.526..178C)
- Scholze et Stix, « Why abc is still a conjecture » (consulté le ) (version mise à jour de leur rapport de mai.)
- (en) Erica Klarreich, « Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture », Quanta Magazine,‎ (lire en ligne).
- « March 2018 Discussions on IUTeich » (consulté le ) Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material
Bibliographie
- (en) S. Lang, Survey of Diophantine geometry, Berlin, Springer-Verlag, (ISBN 3-540-61223-8, zbMATH 0869.11051), p. 51.
- (en) L. Szpiro, « Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux », Astérisque, vol. 86, no 3,‎ , p. 44–78 (zbMATH 0463.00009).
- (en) L. Szpiro, « Présentation de la théorie d'Arakelov », Contemp. Math., vol. 67,‎ , p. 279–293 (DOI 10.1090/conm/067/902599, zbMATH 0634.14012).