Conjecture de Leopoldt

Soit k un corps de nombres algébriques, et p un nombre premier. La conjecture de Leopoldt en p pour le corps k indique que ce corps n'admet que r₂+1 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensions linéairement indépendantes, où r₂ désigne le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps k, et où ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ est l'anneau des entiers p-adiques, vu ici comme limite projective des groupes abéliens ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. Ceci peut encore se formuler en disant que le groupe de Galois de la pro-p-extension abélienne maximale du corps k, a pour rang r₂+1 en tant que ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-module.

À travers la théorie du corps de classes, cet énoncé peut se reformuler en l'énoncé suivant sur le groupe des unités E du corps k : l'application obtenue à partir de l'application diagonale, partant du tensorisé ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} _{p}}$, et à valeurs dans le produit des groupes d'unités locaux en les places de k au-dessus de p ${\displaystyle \prod _{v\mid p}U_{v}}$ est injective (et donc a pour rang r₁+r₂-1, d'après le théorème des unités de Dirichlet, ce qui est à comparer avec le ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-rang de l'espace d'arrivée, qui est r₁+2r₂).

• (en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt (de) et Kay Wingberg (de), Cohomology of number fields [détail de l’édition]
• (en) Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields [détail des éditions]