Conjecture de Hadwiger (géométrie combinatoire)

Comme le montre l'illustration, un triangle peut être couvert par trois copies plus petites de lui-même et, plus généralement, en toute dimension,un simplexe peut être couvert par n + 1 copies de lui-même, mises à l'échelle par un facteur de n/(n + 1). Cependant, pour couvrir un carré par des carrés plus petits (avec des côtés parallèles à l'original), il faut quatre carrés plus petits, car chacun ne peut couvrir qu'un seul des quatre coins du grand carré.

En dimensions supérieures, couvrant un hypercube ou plus généralement un parallélépipède par des copies homothétiques plus petites de la même forme nécessite une copie séparée pour chacun des sommets de l'hypercube ou du parallélépipède de départ ; parce que ces objets ont 2ⁿ sommets, il faut 2ⁿ petites copies. Ce nombre est également suffisant : un cube ou un parallélépipède peut être couvert par 2ⁿ copies, mises à l'échelle par un facteur de 1/2. La conjecture de Hadwiger est que les parallélépipèdes sont le pire cas pour ce problème, et que tout autre volume convexe peut être couvert par moins de 2ⁿ copies plus petites de lui-même[1].

Le cas de la dimension deux a été résolu par Levi 1955: tout ensemble convexe borné bidimensionnel peut être recouvert par quatre exemplaires plus petits de lui-même, le quatrième exemplaire n'étant nécessaire que dans le cas des parallélogrammes.

La conjecture reste ouverte dans les dimensions supérieures, sauf pour certains cas particuliers. La borne supérieure asymptotique la plus connue concernant le nombre de petits exemplaires nécessaires pour couvrir un volume donné est :

${\displaystyle \displaystyle 4^{n}(5n\ln n).}$

Pour des petites valeurs de ${\displaystyle n}$ la borne supérieure ${\displaystyle (n+1)n^{n-1}-(n-1)(n-2)^{n-1}}$ prouvée par Lassak 1988 est meilleure que la borne asymptotique. En dimension trois, on sait qu'il suffit de 16 copies, mais on est encore loin de la valeur conjecturée de 8 copies[1].

La conjecture est prouvée pour certaines classes spéciales de volumes convexes, notamment les polyèdres symétriques et les solides d'épaisseur constante en trois dimensions[1]. Le nombre de copies nécessaires pour couvrir un zonoèdre est au plus ${\displaystyle (3/4)2^{n}}$, tandis que pour les volumes à surface lisse (c'est-à-dire ayant un seul plan tangent par point limite), au plus ${\displaystyle n+1}$ copies plus petites sont nécessaires pour le couvrir, comme l'a déjà prouvé Levi[1].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadwiger conjecture (combinatorial geometry) » (voir la liste des auteurs).

• Vladimir Boltjansky et Israel Gohberg, Results and Problems in Combinatorial Geometry, Cambridge University Press, 1985, « 11. Hadwiger's Conjecture », p. 44–46.
• Peter Brass, William Moser et János Pach, Research Problems in Discrete Geometry, Springer-Verlag, 2005, « 3.3 Levi–Hadwiger Covering Problem and Illumination », p. 136–142.
• (ru) Israel Ts. Gohberg et Alexander S. Markus, « A certain problem about the covering of convex sets with homothetic ones », Izvestiya Moldavskogo Filiala Akademii Nauk SSSR, vol. 10, n^o 76,‎ 1960, p. 87–90.
• Hugo Hadwiger, « Ungelöste Probleme Nr. 20 », Elemente der Mathematik, vol. 12,‎ 1957, p. 121.
• Marek Lassak, « Covering the boundary of a convex set by tiles », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 104, n^o 1,‎ 1988, p. 269–272 (DOI 10.1090/s0002-9939-1988-0958081-7, MR 0958081).
• Friedrich Wilhelm Levi, « Überdeckung eines Eibereiches durch Parallelverschiebungen seines offenen Kerns », Archiv der Mathematik, vol. 6, n^o 5,‎ 1955, p. 369–370 (DOI 10.1007/BF01900507).

• conjecture de Borsuk (en) sur le recouvrement des volumes convexes par des ensembles de plus petit diamètre.