Conjecture de Duffin-Schaeffer

La conjecture de Duffin-Schaeffer est une conjecture (maintenant un théorème) en mathématiques, concernant l'approximation diophantienne proposée par R. J. Duffin et A. C. Schaeffer en 1941[1]. Elle stipule que si $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ est une fonction à valeurs réelles prenant des valeurs positives, alors pour presque tout $\alpha$ (par rapport à la mesure de Lebesgue), l'inégalité

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}

a une infinité de solutions en $p,q$ entiers premiers entre eux avec $q>0$ si et seulement si

\sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty ,

où $\varphi (q)$ est l'indicatrice d'Euler.

En 2019, la conjecture de Duffin-Schaeffer a été prouvée par Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard[2].

Progrès

L'implication de l'existence des approximations rationnelles par la divergence de la série découle du lemme de Borel-Cantelli[3]. La reciproque était le cœur de la conjecture[4]. Il y a eu de nombreux résultats partiels de la conjecture de Duffin-Schaeffer : Paul Erdős a établi en 1970 que la conjecture est vraie s'il existe une constante $c>0$ tel que pour tout entier $n$ nous avons soit $f(n)=c/n$ ou $f(n)=0$ [4] - [5]. Cela a été renforcé par Jeffrey Vaaler en 1978 pour le cas $f(n)=O(n^{-1})$ [6] - [7].

En 2006, Beresnevich et Velani ont prouvé qu'une conjecture analogue pour la mesure de Hausdorff est équivalente à la conjecture originale de Duffin-Schaeffer, qui est a priori plus faible. Ce résultat est publié dans les Annals of Mathematics[8].

En juillet 2019, Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont annoncé une preuve de la conjecture[9]. En juillet 2020, la preuve a été publiée dans les Annals of Mathematics[10].

Problèmes connexes

Un analogue de dimension supérieure de cette conjecture a été résolu par Vaughan et Pollington en 1990[4] - [11] - [12].

Notes

Duffin et Schaeffer, « Khintchine's problem in metric diophantine approximation », Duke Math. J., vol. 8, n^o 2,‎ 1941, p. 243–255 (DOI 10.1215/S0012-7094-41-00818-9, zbMATH 0025.11002)
Koukoulopoulos et Maynard, « On the Duffin-Schaeffer conjecture », Annals of Mathematics, vol. 192, n^o 1,‎ 2020, p. 251 (DOI 10.4007/annals.2020.192.1.5, JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5, arXiv 1907.04593, S2CID 195874052, lire en ligne)
Harman (2002) p. 68
Hugh L. Montgomery, Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, vol. 84, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Regional Conference Series in Mathematics », 1994 (ISBN 978-0-8218-0737-8, zbMATH 0814.11001), p. 204
Harman (1998) p. 27
« Duffin-Schaeffer Conjecture », Ohio State University Department of Mathematics, 9 août 2010 (consulté le 19 septembre 2019)
Harman (1998) p. 28
Beresnevich et Velani, « A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures », Annals of Mathematics, second Series, vol. 164,‎ 2006, p. 971–992 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2006.164.971, zbMATH 1148.11033, arXiv math/0412141, S2CID 14475449)
Sloman, « New Proof Solves 80-Year-Old Irrational Number Problem », Scientific American,‎ 2019 (lire en ligne)
Koukoulopoulos et Maynard, « On the Duffin-Schaeffer conjecture », Annals of Mathematics, vol. 192, n^o 1,‎ 2020, p. 251 (DOI 10.4007/annals.2020.192.1.5, JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5, arXiv 1907.04593, S2CID 195874052, lire en ligne)Koukoulopoulos, Dimitris; Maynard, James (2020). "On the Duffin-Schaeffer conjecture". Annals of Mathematics. 192 (1): 251. arXiv:1907.04593. doi:10.4007/annals.2020.192.1.5. JSTOR 10.4007/annals.2020.192.1.5. S2CID 195874052.
Pollington et Vaughan, « The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture », Mathematika, vol. 37,‎ 1990, p. 190–200 (ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/s0025579300012900, zbMATH 0715.11036, lire en ligne)
Harman (2002) p. 69

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Duffin–Schaeffer conjecture » (voir la liste des auteurs).

Glyn Harman, Metric number theory, vol. 18, Oxford, Clarendon Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », 1998 (ISBN 978-0-19-850083-4, zbMATH 1081.11057)
Glyn Harman, Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory, Natick, MA, A K Peters, 2002, 57–74 p. (ISBN 978-1-56881-162-8, zbMATH 1062.11052), « One hundred years of normal numbers »

Liens externes

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