Conjecture d'Elliott-Halberstam

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier strictement positif et a est premier avec q, notons π(x; q, a) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque a est premier avec q, on a :

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}.}$

On définit alors la fonction d'erreur

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

où le max est pris sur tous les a premiers avec q.

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout x ≥ 2 :

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{(\ln x)^{A}}}.}$

La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ][1].

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.

Pour les θ < ¹⁄₂, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri[2] et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım[3] - [4] - [5], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en décembre 2013 que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.

• Conjecture des nombres premiers jumeaux
• Théorème de Barban-Davenport-Halberstam (en)
• Théorème de Barban-Montgomery