Conjecture 3^d de Kalai

Soit P un polytope (convexe) de dimension d, symétrique par rapport à l'origine (c'est-à-dire que si A est un sommet de P, -A en est également un). Notant ${\displaystyle f_{k}}$ le nombre de k-faces de P (on a donc ${\displaystyle f_{0}}$ sommets, ${\displaystyle f_{1}}$arêtes, etc., et ${\displaystyle f_{d}=1}$), la minoration conjecturée par Kalai[1] est : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}f_{k}\geq 3^{d}}$.

Le cube et l'octaèdre, deux exemples pour lesquels la borne de la conjecture est atteinte.

En dimension 2, les polygones symétriques ont un nombre pair de côtés ; on a donc ${\displaystyle f_{0}=f_{1}\geq 4}$, et on a bien ${\displaystyle f_{0}+f_{1}+f_{2}\geq 4+4+1=9=3^{2}}$.

En dimension 3, le cube (${\displaystyle f_{0}=8}$, ${\displaystyle f_{1}=12}$ et ${\displaystyle f_{2}=6}$) et l'octaèdre régulier, son dual (${\displaystyle f_{0}=6}$, ${\displaystyle f_{1}=12}$ et ${\displaystyle f_{2}=8}$) atteignent tous deux le minorant : ${\displaystyle f_{0}+f_{1}+f_{2}+f_{3}=6+12+8+1=27=3^{3}}$.

En dimensions supérieures, l'hypercube [0,1]^d a exactement 3^d faces (on peut le voir en remarquant que chaque k-face est déterminée par ses projections sur les d axes de coordonnées ; chaque projection est l'origine, le point 1, ou le segment [0,1], ce dernier cas se produisant k fois). Si la conjecture est vraie, l'hypercube est donc une réalisation du minorant[1]. Plus généralement, tous les polytopes de Hanner (en) (définis par récurrence comme produits cartésiens et duaux de polytopes de Hanner déjà construits) ont exactement 3^d faces.

Pour ${\displaystyle d\leq 4}$, la conjecture est démontrée[2] ; elle est également vraie pour les polytopes simpliciaux (en) (ceux dont toutes les faces sont des simplexes) : elle résulte dans ce cas d'une conjecture de Imre Bárány, démontrée par Richard Peter Stanley[3] - [4] (ces deux articles sont cités par Kalai comme motivation pour sa conjecture[1]). La conjecture a été démontrée pour d'autres classes de polytopes, comme les polytopes de Hansen[5], mais reste ouverte dans le cas général.

Kalai avait formulé une autre conjecture affirmant que le f-vecteur ${\displaystyle (f_{0},f_{1},\dots ,f_{d})}$ correspondant à P « dominait » le f-vecteur d'au moins un polytope de Hanner H (de la même dimension), c'est-à-dire qu'en notant ${\displaystyle h_{k}}$ le nombre de k-faces de H, on avait ${\displaystyle h_{k}\leq f_{k}}$ pour tout k. Mais cette conjecture (qui implique la conjecture 3^d) a été réfutée en 2009[2].