Condition de Lindeberg

Soient ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé , et ${\displaystyle X_{k}:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ,~k\in \mathbb {N} }$ des variables aléatoires indépendantes sur cet espace. Supposons que les valeurs ${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}$ et les variances ${\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}}$ existent et sont finies. De plus, soit ${\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}$

Si la suite de variables aléatoires indépendantes ${\displaystyle (X_{k})}$ satisfait la condition de Lindeberg :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0}$

pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, où 1_{…} est la fonction caractéristique, alors le théorème central limite est respecté, i.e. les variables aléatoires

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}}$

convergent en loi, lorsque ${\displaystyle n\to \infty }$, vers une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

La condition de Lindeberg est suffisante, mais généralement pas nécessaire (i.e. l'implication inverse n'est généralement pas vérifiée). Toutefois, si la suite de variables aléatoires indépendantes en question satisfait

${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ quand }}n\to \infty ,}$

alors la condition de Lindeberg est nécessaire et suffisante, i.e. elle est respectée si et seulement si le résultat du TCL l'est[5].

Parce que la condition de Lindeberg induit que ${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}$ quand ${\displaystyle n\to \infty }$, elle garantit que la contribution de n'importe quelle variable aléatoire ${\displaystyle X_{k}}$ (${\displaystyle 1\leq k\leq n}$) prise individuellement à la variance ${\displaystyle s_{n}^{2}}$ est arbitrairement petite, pour des valeurs de ${\displaystyle n}$ suffisamment grandes.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindeberg's condition » (voir la liste des auteurs).

• Condition de Liapounov
• Théorème central limite