Composition (combinatoire)

Une composition d'un entier naturel positif ${\displaystyle n>0}$ est une suite ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{k})}$ d'entiers positifs tels que ${\displaystyle n=p_{1}+\cdots +p_{k}}$. Chaque ${\displaystyle p_{i}}$ est une part, et l'entier ${\displaystyle k}$ est la longueur.

Les 32 compositions de 6. L'absence d'une barre de séparation est notée en rouge.

Les 11 partitions de 6. Une partition est une composition dont les parts sont décroissantes.

Les seize compositions de 5 sont :

• 5
• 4 + 1
• 3 + 2
• 3 + 1 + 1
• 2 + 3
• 2 + 2 + 1
• 2 + 1 + 2
• 2 + 1 + 1 + 1
• 1 + 4
• 1 + 3 + 1
• 1 + 2 + 2
• 1 + 2 + 1 + 1
• 1 + 1 + 3
• 1 + 1 + 2 + 1
• 1 + 1 + 1 + 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Les sept partitions de 5:

• 5
• 4 + 1
• 3 + 2
• 3 + 1 + 1
• 2 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Le nombre de composition de l’entier ${\displaystyle n}$ est ${\displaystyle 2^{n-1}}$.

Voici une démonstration de cette propriété. On considère une suite de ${\displaystyle n}$ points, et on choisit de placer ou de ne pas placer une barre verticale entre des points. Par exemple, pour ${\displaystyle n=8}$, on peut placer trois barres comme suit :

${\displaystyle \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \mid \bullet \bullet \bullet }$

Une part d'une composition est formé du nombre de points qui sont contigus. Dans l'exemple, la composition est (2,2,1,3). De manière générale, il y a ${\displaystyle n-1}$ positions où on peut choisir de placer ou de ne pas placer une barre de séparation; ceci fait ${\displaystyle 2^{n-1}}$ choix possibles de séparations et comme les choix déterminent les compositions, cela fait ${\displaystyle 2^{n-1}}$ compositions[1].

La démonstration montre que le nombre de compositions d'un entier ${\displaystyle n}$ formées de ${\displaystyle k}$ parts est ${\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}}$. Donald Knuth, dans le volume 4a de son traité[2], s'intéresse à la génération de toutes les compositions, sous des contraintes variées.

Pour noter la représentation graphique ci-dessus, on peut convenir d'écrire un « 1 » s'il n'y a pas de barre de séparation, et un « 0 » dans le cas contraire. Ainsi, la composition (2,2,1,4) de 9 est représenté par la suite de 8 chiffres binaires 10100111 (il y a autant de 0 dans « 10100111 » qu'il y a de virgules dans « (2,2,1,4) »).

• Partition d'entier
• Stars and bars (combinatorics) (en)

Les compositions d'entiers sont un objet combinatoire simple, et se trouvent dans de nombreux livres de combinatoire de base. Louis Comtet en parle dans le premier volume de son livre[3]. Knuth[2] y consacre une section. Un ouvrage entier a été consacré aux compositions et à ses variantes[4].

• Louis Comtet, Analyse combinatoire, Tomes I et II, Paris, Presses Universitaires de France, coll. « Sup - Le Mathématicien », 1970

• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 4A : Combinatorial Algorithms, Part 1, Addison-Wesley, 2011 (ISBN 978-0-201-03804-0 et 0-201-03804-8, présentation en ligne)

• Silvia Heubach et Toufik Mansour, Combinatorics of Compositions and Words, Boca Raton, FL, CRC Press, coll. « Discrete Mathematics and its Applications », 2009, 504 p. (ISBN 978-1-4200-7267-9, zbMATH 1184.68373)

• Partition and composition calculator
• Partitions d'entiers sur le site Math en jeans.