Complexe de Čech

En topologie algébrique et en analyse topologique des données (en), le complexe de Čech est un complexe simplicial abstrait construit à partir d'un ensemble de points dans un espace métrique. Il est nommé d'après le mathématicien tchécoslovaque Eduard Čech.

Étant donnés un ensemble fini ${\displaystyle X}$ de points et ${\displaystyle \varepsilon >0}$, le complexe de Čech ${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$ est défini comme l'ensemble des simplexes ${\displaystyle \sigma \subset X}$ tels que les boules de rayon ${\displaystyle \varepsilon }$ et de centres les points de ${\displaystyle \sigma }$ ont une intersection non vide, c'est-à-dire[1] :

${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)=\left\{\sigma \subset X|\bigcap \limits _{x\in \sigma }B_{\varepsilon }(x)\neq \emptyset \right\}.}$

Il peut être vu comme le nerf de l'ensemble des boules de rayon ${\displaystyle \varepsilon }$ centrées sur les points de ${\displaystyle X}$. Par le théorème du nerf, le complexe de Čech est homotopiquement équivalent à l'union des boules[1].

Le complexe de Čech est un sous-complexe du complexe de Vietoris–Rips.

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