Clôture normale (théorie des groupes)

• La clôture normale ${\displaystyle \operatorname {cln} _{G}(S)}$ de ${\displaystyle S}$ dans ${\displaystyle G}$ est l'intersection de tous les sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ contenant ${\displaystyle S}$[1] :
  $${\displaystyle \mathrm {cln} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.}$$

  
• Le sous-groupe ${\displaystyle \operatorname {cln} _{G}(S)}$ est engendré par l'ensemble ${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}}$ de tous les conjugués dans ${\displaystyle G}$ des éléments de ${\displaystyle S.}$
• On peut donc aussi écrire
  $${\displaystyle \mathrm {cln} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.}$$

  

Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale.

La clôture normale de l'ensemble vide est le sous-groupe trivial[2].

Il existe d'autres notations pour la clôture normale dans la littérature, comme ${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G}}$ ou ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

Le dual du concept de clôture normale est celui d'intérieur normal ou cœur, défini comme le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ contenus dans ${\displaystyle S}$[3].

Pour un groupe donné par une présentation ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ avec des générateurs ${\displaystyle S}$ et des relations ${\displaystyle R,}$ il est équivalent de définir ${\displaystyle G}$ comme le groupe quotient ${\displaystyle G=F(S)/\mathrm {cln} _{F(S)}(R),}$ où ${\displaystyle F(S)}$ est un groupe libre sur ${\displaystyle S}$[4].