Champ vectoriel fondamental

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}$, l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P);\lambda \mapsto \Phi _{\lambda }}$, l'action à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle \Phi _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(P)}$, l'action de groupe infinitésimale ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle P}$.

Définition

À tout ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ correspond, via ${\displaystyle \Phi _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(P)}$, un champ vectoriel fondamental sur ${\displaystyle P}$ :

${\displaystyle \xi ^{\bullet }:=\Phi _{*}|_{e}(\xi )\in {\mathfrak {X}}(P)}$.

Remarque

On peut aussi écrire un champ vectoriel fondamental en ${\displaystyle a\in P}$ comme :

${\displaystyle \xi ^{\bullet }|_{a}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\Phi _{\exp(t\xi )}(a)}$.

Remarque

La distribution verticale ${\displaystyle V\subset TP}$ est engendrée point par point par les champs vectoriels fondamentaux.

Plus précisément, en tout ${\displaystyle a\in P}$ on a :

${\displaystyle V_{a}=\mathbb {R} \langle \xi ^{\bullet }|_{a}:\xi \in {\mathfrak {g}}\rangle }$.

Remarque

La notion de champ vectoriel fondamental sur un fibré principal se retrouve dans un des axiomes définissant la notion de forme de connexion via ${\displaystyle A(\xi ^{\bullet })=\xi }$.

Remarque

Les champs vectoriels fondamentaux satisfont :

${\displaystyle [\xi _{1}^{\bullet },\xi _{2}^{\bullet }]=-[\xi _{1},\xi _{2}]^{\bullet },\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}$ ;

${\displaystyle (\Phi _{\lambda })_{*}(\xi ^{\bullet }|_{a})=(\mathrm {Ad} _{\lambda }^{-1}\circ \xi )^{\bullet }|_{a\cdot \lambda },\qquad \forall \lambda \in G,\;a\in P,\;\xi \in {\mathfrak {g}}}$.

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963