Carré thermodynamique de Born

On souhaite par exemple retrouver l'identité thermodynamique fondamentale, la différentielle ${\displaystyle \mathrm {d} U}$ sans calcul :

1. On se place dans la case contenant la fonction thermodynamique d'intérêt, soit ${\displaystyle U}$.
2. Les coefficients du résultat sont aux coins opposés. Dans l'exemple : ${\displaystyle -p}$ et ${\displaystyle T}$.
3. Les variables naturelles du potentiel sont situées dans le coin opposé au coefficient : ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} V}$.
4. On obtient : ${\displaystyle \mathrm {d} U=-p\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S}$.

Les relations de Maxwell se retrouvent aisément:

1. Appliquer une forme en ${\displaystyle \sqcup }$ sur le carré.
2. La pointe supérieure gauche de ${\displaystyle \sqcup }$ désigne la fonction à dériver.
3. Le coin inférieur gauche de ${\displaystyle \sqcup }$ désigne la variable selon laquelle on dérive.
4. On trouve la quantité gardée constante dans le coin inférieur droit de ${\displaystyle \sqcup }$.
5. Pour l'autre côté de l'égalité il suffit d'appliquer la méthode en miroir, c'est-à-dire fonction en haut à droite, variable en bas à droite et constante en bas à gauche.

Par exemple, avec ${\displaystyle \sqcup }$, on trouve ${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}$. Avec ${\displaystyle \sqsubset }$, on trouve ${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}=\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}}$.