Blossoming

Algorithme de de Casteljau pour une courbe de Bézier du 3e degré

L'exemple d'une courbe de Bézier de degré ${\displaystyle n=3}$ montre clairement, comment le blossoming permet de déterminer à la fois les points de la courbe (dans l'image ${\displaystyle {\bf {b}}_{0}}$ et ${\displaystyle {\bf {b}}_{3}}$) et les points de contrôle (dans l'image ${\displaystyle {\bf {b}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\bf {b}}_{2}}$)

Le Blossom de la courbe de Bézier

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{3}{\binom {3}{i}}t^{i}(1-t)^{3-i}{\bf {b}}_{i}\\&=\ (1-t)^{3}{\bf {b}}_{0}+3t(1-t)^{2}{\bf {b}}_{1}+3t^{2}(1-t){\bf {b}}_{2}+t^{3}{\bf {b}}_{3}\end{aligned}}}$

est le polynôme symétrique et tri-affine

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}[t_{1},t_{2},t_{3}]&={\bf {b}}_{0}(1-t_{1})(1-t_{2})(1-t_{3})\\&+{\bf {b}}_{1}t_{1}(1-t_{2})(1-t_{3})\\&+{\bf {b}}_{2}t_{1}t_{2}(1-t_{3})\\&+{\bf {b}}_{3}(t_{1}t_{2}t_{3})\end{aligned}}}$

Si nous insérons des valeurs spéciales pour ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}$, on obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}_{000}:={\bf {b}}[0,0,0]&={\bf {b}}_{0}\\{\bf {b}}_{001}&={\bf {b}}_{1}\\{\bf {b}}_{011}&={\bf {b}}_{2}\\{\bf {b}}_{111}&={\bf {b}}_{3}\\\end{aligned}}}$

Plus encore, nous pouvons également calculer directement les points intermédiaires de l'algorithme de Casteljau sous forme de

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}_{00t}:={\bf {b}}[0,0,t]&={\color {Green}{\bf {b}}_{0}^{1}}\\{\bf {b}}_{0t1}&={\color {Green}{\bf {b}}_{1}^{1}}\ &{\bf {b}}_{0tt}&={\color {Blue}{\bf {b}}_{0}^{2}}\\{\bf {b}}_{t11}&={\color {Green}{\bf {b}}_{2}^{1}}\ &{\bf {b}}_{tt1}&={\color {Blue}{\bf {b}}_{1}^{2}}\ &{\bf {b}}_{ttt}&={\color {Red}{\bf {b}}_{0}^{3}={\bf {b}}(t)}\\\end{aligned}}}$

Nous assemblons des courbes polynomiales par morceaux pour obtenir la courbe Spline.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {s}}(u)\ &=\ \sum _{i=1}^{n}{\bf {c}}_{i}N_{i}^{n}(u)\ \end{aligned}}}$

avec B-splines ${\displaystyle N_{i}^{n}}$ . Si l'on met bout à bout les intervalles de paramètres sous-jacents, on obtient une séquence de nœuds ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$. Le blossoming sur les sous-intervalles conduit aux courbes de Bézier respectives ou aux points de contrôle de l'algorithme de Casteljau, soit par exemple

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {s}}_{333}:={\bf {s}}[u_{3},u_{3},u_{3}]&={\bf {b}}_{0}\\{\bf {s}}_{334}&={\bf {b}}_{1}\\{\bf {s}}_{344}&={\bf {b}}_{2}\\{\bf {s}}_{444}&={\bf {b}}_{3}\\\end{aligned}}}$

Le blossoming au-delà des sous-intervalles conduit aux points de contrôle de l'algorithme de de Boor:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {s}}_{123}:={\bf {s}}[u_{1},u_{2},u_{3}]&={\bf {c}}_{0}\\{\bf {s}}_{234}&={\bf {c}}_{1}\\{\bf {s}}_{345}&={\bf {c}}_{2}\\{\bf {s}}_{456}&={\bf {c}}_{3}\\\end{aligned}}}$

Les Osculantes possèdent les propriétés suivantes:

• Elles sont symétriques dans les nœuds:

${\displaystyle \Delta _{ab}{\bf {x}}=\Delta _{ba}{\bf {x}}}$

• Elles sont affines dans les nœuds: De ${\displaystyle \ a=p\cdot (1-t)+q\cdot t}$ découle

${\displaystyle \Delta _{a}{\bf {x}}=(1-t)\cdot \Delta _{p}{\bf {x}}+t\cdot \Delta _{q}{\bf {x}}}$

• Leur diagonale est identique à la courbe:

${\displaystyle \Delta _{t}^{n}{\bf {x}}=\Delta _{t\dots t}{\bf {x}}={\bf {x}}(t)}$

Les osculants ont été introduits en 1886 par Stanislaus Jolles dans sa thèse d'habilitation. Dans le cas paramétrique, ils sont identiques aux blossoms de de Casteljau et Ramshaw et peuvent être facilement déduits par blossoming : Pour une courbe de Bézier cubique avec les points de contrôle ${\displaystyle {\bf {b}}_{000},{\bf {b}}_{001},{\bf {b}}_{011},{\bf {b}}_{111}}$, l'osculante au nœud ${\displaystyle t}$ est définie par les points de contrôle de Bézier suivants : ${\displaystyle {\bf {b}}_{00t},{\bf {b}}_{0t1},{\bf {b}}_{t11}}$.