Base de Sylow
Soit G un groupe (au sens mathématique) fini. Un ensemble B de sous-groupes de G est appelé[1] une base de Sylow de G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
- P désignant l'ensemble des diviseurs premiers de l'ordre de G, il existe une bijection f de P sur B telle que, pour tout élément p de P, f(p) soit un p-sous-groupe de Sylow de G ;
- si S1 et S2 sont deux éléments de B, alors S1 S2 est un sous-groupe de G (ce qui, comme on le sait[2], revient à dire que S1 S2 = S2 S1).
Philip Hall a démontré[3] qu'un groupe fini admet une base de Sylow si et seulement s'il est résoluble[4]. Pour démontrer que l'existence d'une base de Sylow entraîne la résolubilité, on utilise le théorème de résolubilité de Burnside.
Notes et références
- Appellation conforme à Ermanno Marchionna, « Sur les théorèmes de Sylow pour les groupes à opérateurs », Séminaire Dubreil, Algèbre, t. 25, n° 2 (1971-1972), exp. n° 13, p. J1-J17, spéc. p. J3-03 et J3-04, consultable sur numdam.org.
- Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, PUF, 1984, prop. 1.47, p. 37-38.
- (en) P. Hall, « A characteristic property of soluble groups », J.London Math. Soc., vol. 12,‎ , p. 198-200 ; (en) P. Hall, « On the Sylow systems for a soluble group », Proc. London Math. Soc., vol. 43,‎ , p. 316-323. (Références données par (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 229, 335 et 462.)
- Pour une démonstration des deux branches de l'équivalence, voir par exemple Scott 1987, 9.3.11, p. 229 et 12.3.6, p. 335.
Voir aussi
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