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Base de Sylow

Soit G un groupe (au sens mathématique) fini. Un ensemble B de sous-groupes de G est appelé[1] une base de Sylow de G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

  1. P désignant l'ensemble des diviseurs premiers de l'ordre de G, il existe une bijection f de P sur B telle que, pour tout élément p de P, f(p) soit un p-sous-groupe de Sylow de G ;
  2. si S1 et S2 sont deux éléments de B, alors S1 S2 est un sous-groupe de G (ce qui, comme on le sait[2], revient à dire que S1 S2 = S2 S1).

Philip Hall a démontré[3] qu'un groupe fini admet une base de Sylow si et seulement s'il est résoluble[4]. Pour démontrer que l'existence d'une base de Sylow entraîne la résolubilité, on utilise le théorème de résolubilité de Burnside.

Notes et références

  1. Appellation conforme Ă  Ermanno Marchionna, « Sur les thĂ©orèmes de Sylow pour les groupes Ă  opĂ©rateurs », SĂ©minaire Dubreil, Algèbre, t. 25, n° 2 (1971-1972), exp. n° 13, p. J1-J17, spĂ©c. p. J3-03 et J3-04, consultable sur numdam.org.
  2. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, PUF, 1984, prop. 1.47, p. 37-38.
  3. (en) P. Hall, « A characteristic property of soluble groups », J.London Math. Soc., vol. 12,‎ , p. 198-200 ; (en) P. Hall, « On the Sylow systems for a soluble group », Proc. London Math. Soc., vol. 43,‎ , p. 316-323. (Références données par (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 229, 335 et 462.)
  4. Pour une démonstration des deux branches de l'équivalence, voir par exemple Scott 1987, 9.3.11, p. 229 et 12.3.6, p. 335.

Voir aussi

Sous-groupe de Hall

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