Assistant interactif d'analyse d'équations différentielles ordinaires

L’interface interactif d’analyse d’équations différentielles offre une certaine flexibilité quant aux paramètres utilisés lorsque vient le temps de résoudre numériquement un système d’EDO. Par exemple, la méthode peut être choisie selon les besoins de l’utilisateur afin de fournir une analyse en lien avec l’objectif recherché. La méthode la plus couramment utilisée est celle de Runge-Kutta de quatrième ordre (RK4). Les autres méthodes utilisent des concepts similaires, soit l’évaluation en un point du système d’équation puis l’incrémentation par une valeur définie selon les paramètres. Il est possible de sélectionner une méthode d’analyse parmi celles-ci :

Sélection de la méthode d'analyse à des fins de résolution numérique

• Runge-Kutta de quatrième ordre
  • Méthode proposée dans les années 1900 par les mathématiciens allemands C. Runge et M.W. Kutta.
• Cash-Karp (en) quatrième et cinquième ordre
  • Méthode proposée par J.R. Cash du London Imperial College et Alan H. Karp du IBM Scientific Center en 1990[2].
• Dverk septième et huitième ordre
  • Implémentation de la méthode de Verner par T.E. Hull, W.H. Enright et K.R. Jackson, professeurs au département de sciences informatiques de l’université de Toronto en 1976[3].
• Extrapolation de Gear par pas unique
  • Méthode proposée par C. William Gear, chercheur au département des sciences informatiques de l’université d’Illinois en 1971[4].
• méthode Rosenbrock (en) de troisième et quatrième ordre
  • Méthode proposée par H.H. Rosenbrock dans un article du ‘’The Computer Journal’’, 1963[5].
• Livermore raides
  • Méthode aussi connue sous le nom de Livermore Solver for Ordinary Differential Equations (LSODE), proposée en 1993 par K. Radhakrishnan et Alan C. Hindmarsh[6].
• Solveur pour problèmes avec conditions à la limite
• Série de Taylor
  • Développement en série de Taylor, tel que proposé par Brook Taylor en 1715.
• Formule de différentiation rétrograde modifiée et étendue aux équations différentielles
• Méthode à pas fixes
  • Méthode d’analyse selon une valeur d’incrémentation déterminée par l’utilisateur.

Les choix étant vastes, il est intéressant de souligner le fait que certaines de ces méthodes découlent ou sont des variantes d’un des algorithmes de Runge-Kutta, ce qui explique les ressemblances. Ces différentes méthodes ont cependant leurs avantages et désavantages, ce qui justifie leur existence dans les paramètres de résolution numérique.

Sorties numériques

Il est possible d’évaluer la valeur des différentes équations du système à un moment donné en entrant une valeur pour la variable indépendante. Les résultats des différentes équations à cette valeur sont alors affichés avec une précision de quinze chiffres dans une petite fenêtre et peuvent donc être utilisées dans un tableau de données.

L’interface utile à la résolution symbolique propose quelques méthodes.

Paramètres d'analyse symbolique

• Méthode par défaut
  • Utilise la méthode des symétries de Lie[7] proposée initialement par Sophus Lie, un mathématicien norvégien, dans les années 1800[8].
  • Utilise des méthodes de classification par symétries non-spécifiées.
• Transformation de Laplace
• Séries
  • Tronquées d’ordre variable
  • Formelles

Solution symbolique

Une fois les paramètres sélectionnés, il est possible d’afficher la solution symbolique dans une grande fenêtre afin de pouvoir s’en servir à titre de référence.

L’assistant d’analyse d’équations différentielles ordinaires (EDO) offre une interface interactive qui simplifie grandement l’analyse des EDO en permettant à l’utilisateur de sélectionner les paramètres nécessaires sans avoir à subir la lourdeur du langage de Maple. Pour un résultat équivalent, le langage Maple impose une syntaxe précise et fastidieuse.

Exemple de syntaxe Maple

Représentation graphique en trois dimensions

En cliquant sur ‘’Options de traçage’’, l’utilisateur peut modifier les différents paramètres afin d’afficher un graphique significatif représentant bien la situation. Par exemple, il est possible de représenter le système d’équations sous forme de graphique en deux dimensions ou en trois dimensions. Les éléments d’affichage d’un graphique conventionnel sont aussi présents dans les paramètres tels que le titre ainsi que le nom des axes. Il est d’ailleurs possible d’assigner une variable à un axe quelconque et donc d’altérer l’apparence du graphique. Celui-ci peut contenir jusqu’à quatre équations distinctes qui doivent être ajoutées dans la sélection des fonctions à tracer. L’utilisateur peut alors décider des couleurs représentant chacune des droites qui seront alors affichées. Il est aussi possible d’afficher la courbe de dérivée premières des fonctions lorsque désiré. L’orientation initiale du graphique peut être modifiée au besoin. Le graphique apparait ensuite dans une petite fenêtre sous le bouton Option de traçage.

Représentation graphique en deux dimensions

Il est possible d’afficher les commandes Maple qui auraient été nécessaires à l’affichage des différents graphiques produits lors de l’analyse. Une petite boite doit être sélectionnée sous la fenêtre d’affichage des graphiques afin d’avoir accès à ces commandes. Elles peuvent donc être prises en note afin de les réutiliser sans avoir à régler les paramètres un par un à nouveau.

Affichage des commandes Maple