Algorithme de Needleman-Wunsch

Par exemple, si la matrice de similarité était

alors l'alignement:

  AGACTAGTTAC
  CGA---GACGT

avec une pénalité de trou de -5, aurait le score suivant :

  ${\displaystyle S(A,C)+S(G,G)+S(A,A)+3\times d+S(G,G)+S(T,A)+S(T,C)+S(A,G)+S(C,T)}$
  ${\displaystyle =-3+7+10-3\times 5+7+-4+0+-1+0=1}$

Dans la suite on appelle A et B les chaînes de caractères à comparer.

Pour déterminer l'alignement de score maximal, un tableau bidimensionnel, ou matrice est utilisé. Cette matrice est parfois appelée matrice F, et ses éléments aux positions (i, j) sont notés ${\displaystyle F_{ij}}$. Il y a une ligne pour chaque caractère de la séquence A, et une colonne pour chaque caractère de la séquence B. Donc, si on aligne des séquences de taille n et m, le temps d'exécution de l'algorithme est O(nm), et l'espace mémoire utilisé est O(nm). (Cependant, il existe une version modifiée de l'algorithme, qui utilise un espace mémoire en O(m + n), mais a un temps d'exécution plus long). Cette modification est en fait une technique générale en programmation dynamique ; elle fut introduite dans l'algorithme d'Hirschberg).

Au fur et à mesure de la progression de l'algorithme, ${\displaystyle F_{ij}}$ se verra affecter le score optimal pour l'alignement des i premiers caractères de A avec les j premiers caractères de B. Le principe d'optimalité est appliqué comme suit.

  Base:
  ${\displaystyle F_{0j}=d*j}$
  ${\displaystyle F_{i0}=d*i}$
  Récursion, basée sur le principe d'optimalité :
  ${\displaystyle F_{ij}=\max(F_{i-1,j-1}+S(A_{i},B_{j}),F_{i,j-1}+d,F_{i-1,j}+d)}$

Le pseudo-code de calcul de la matrice F est donné ici :

  for i=0 to length(A)-1
    F(i, 0) ← d*i
  for j=0 to length(B)-1
    F(0,j) ← d*j
  for i=1 to length(A)-1
    for j = 1 to length(B)-1
    {
      Choice1 ← F(i-1,j-1) + S(A(i), B(j))
      Choice2 ← F(i-1, j) + d
      Choice3 ← F(i, j-1) + d
      F(i, j) ← max(Choice1, Choice2, Choice3)
    }

Une fois que la matrice F est calculée, on voit que l'élément (i, j) correspond au score maximum pour n'importe quel alignement. Pour déterminer quel alignement fournit ce score, il faut partir de cet élément (i, j), et effectuer le 'chemin inverse' vers l'élément (1,1), en regardant à chaque étape à partir de quel voisin on est partis. S'il s'agissait de l'élément diagonal, alors A(i) et B(i) sont alignés. S'il s'agissait de l'élément (i-1,j), alors A(i) est aligné avec un trou, et s'il s'agissait de l'élément (i, j-1), alors B(j) est aligné avec un trou.

  AlignmentA ← ""
  AlignmentB ← ""
  i ← length(A) - 1
  j ← length(B) - 1
  while (i > 0 AND j > 0)
  {
    Score ← F(i, j)
    ScoreDiag ← F(i - 1, j - 1)
    ScoreUp ← F(i, j - 1)
    ScoreLeft ← F(i - 1, j)
    if (Score == ScoreDiag + S(A(i), B(j)))
    {
      AlignmentA ← A(i) + AlignmentA
      AlignmentB ← B(j) + AlignmentB
      i ← i - 1
      j ← j - 1
    }
    else if (Score == ScoreLeft + d)
    {
      AlignmentA ← A(i) + AlignmentA
      AlignmentB ← "-" + AlignmentB
      i ← i - 1
    }
    otherwise (Score == ScoreUp + d)
    {
      AlignmentA ← "-" + AlignmentA
      AlignmentB ← B(j) + AlignmentB
      j ← j - 1
    }
  }

  while (i > 0)
  {
    AlignmentA ← A(i) + AlignmentA
    AlignmentB ← "-" + AlignmentB
    i ← i - 1
  }
  while (j > 0)
  {
    AlignmentA ← "-" + AlignmentA
    AlignmentB ← B(j) + AlignmentB
    j ← j - 1
  }

• Algorithme de Needleman-Wunsch en java

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• Programmation dynamique