Algèbre d'octonions

On note A une algèbre sur K.

On dit que A est alternative si, quels que soient les éléments x et y de A, la sous-algèbre de A engendrée par x et y est associative. Il est aussi équivalent de dire que l'application trilinéaire (x, y, z) ${\displaystyle \mapsto }$ (xy)z - x(yz) de A³ dans A est alternée. Toute algèbre associative est alternative.

On dit que A est simple si la multiplication de A n'est pas identiquement nulle (il existe x et y dans A tels que xy est non nul) et A et {0} sont les seuls idéaux bilatères de A. (La première condition est satisfaite lorsque A est unitaire et si A est pas réduit à 0.)

On dit que A est absolument simple si, pour tout surcorps commutatif L de K, la L-algèbre L ⊗_K A déduite de A par extension des scalaires de K dans L (qui est unitaire et alternative) est simple. Si A est absolument simple, alors A est simple.

On appelle noyau de A l'ensemble des éléments x de A qui s'associent avec tous les éléments de A: quels que soient les éléments y et z de A, (xy)z = x(yz), (yx)z = y(xz) et (yz)x = y(zx). Si A est associative, alors le noyau de A est A. On appelle centre de A l'ensemble des éléments x du noyau de A qui commutent avec tous les éléments de A: xy = yx pour tout élément de A. Si A est unitaire et alternative, on dit que A est centrale (sur K) si le A n'est pas réduite à 0 et si le centre de A est K.1.

Les multiplications à gauche et à droite de A définie par un élément x sont application L_x et R_x de A dans A définie par L_x(y) = xy et R_x(y) = yx. Ce sont des endomorphismes de l'espace vectoriel A.

L'ensemble des endomorphismes f de l'espace vectoriel A tels que f ${\displaystyle \circ }$ L_x = L_x ${\displaystyle \circ }$ f et ${\displaystyle \circ }$ R_x = R_x ${\displaystyle \circ }$ f pour tout élément x de A est une sous-algèbre unitaire de l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel A. On l'appelle centroïde de A.

Soit A une algèbre alternative sur K. Il est équivalent de dire que :

• A est unitaire, simple et le centre de A est K (A est centrale) ;
• A est simple et le centroïde de A est K ;
• A est absolument simple ;
• A est une algèbre unitaire associative simple centrale sur K ou une A est une algèbre d'octonions sur K.

Donc les algèbres d'octonions sur K ne sont autres que les algèbres unitaires alternatives centrales simples sur K qui ne sont pas associatives, ou encore les algèbres alternatives absolument simples non associatives sur K.