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Algèbre cylindrique

En mathématiques, la notion d'algèbre cylindrique, inventée par Alfred Tarski, est survenue naturellement dans l'algébrisation de la logique du premier ordre équationnelle.

Définition d'une algèbre cylindrique

Une algèbre cylindrique de dimension  (où  est un nombre ordinal) est une structure algébrique  tel que  est une algèbre booléenne, un opérateur unaire sur pour tout , et  un élément distingué de  pour tout  et , de telle sorte que:

(C1)

(C2)

(C3)

(C4)

(C5)

(C6) Si , alors 

(C7) Si , alors 

En supposant une présentation de la logique du premier ordre sans symboles de fonction, l'opérateur  modélise quantification existentielle sur la variable  dans la formule  tandis que l'opérateur l'égalité des modèles des variables  et . Désormais, reformulé en utilisant les notations logiques standard, les axiomes peuvent se lire ainsi

(C1)

(C2)

(C3)

(C4)

(C5)

(C6) Si  est une variable différente de  et , alors 

(C7) Si  et  sont différents entre elles, alors 

Voir aussi

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cylindric algebra » (voir la liste des auteurs).
  • Leon Henkin, Monk, J.D., et Alfred Tarski (1971) Cylindric Algebras, Partie I. North-Holland. (ISBN 978-0-7204-2043-2).
  • -------- (1985) Cylindric Algebras, Partie II. North-Holland.
  • (en) Recent trends in algebraic development techniques : 18th International Workshop, WADT 2006, La Roche en Ardenne, Belgium, June 1-3, 2006, Revised Selected Papers, Springer, coll. « Lecture notes in computer science » (no 4409), (ISBN 978-3-540-71997-7, DOI 10.1007/978-3-540-71998-4_2, lire en ligne), « On the algebraization of many-sorted logics », p. 21-36
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