Action de Proca

Le champ de jauge considéré est complexe et est associé au 4-vecteur potentiel  B^μ = (φ/c, A), où φ est un potentiel électrique, A un potentiel vecteur généralisé. Le champ ${\displaystyle B^{\mu }}$ se transforme comme un 4-vecteur.

La densité lagrangienne est donnée par[2] :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}$

où c est la vitesse de la lumière, ħ est la constante de Planck réduite,  m est la masse du champ de jauge et ∂_μ est le 4-gradient.

Les équations d'Euler-Lagrange, donnent l'équation de Proca :

${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}$

En appliquant ∂_ν à l'équation du dessus, on obtient un condition, dite de Jauge de Lorenz (bien que ce ne soit pas une transformation de jauge) généralisée aux champs de jauge massifs,

${\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0}$

l'équation de Proca se réduit alors à [3] :

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

Lorsqu'il n'y a pas de source, chaque composante du 4-vecteur potentiel est alors régie par l'équation de Klein-Gordon complexe. Lorsque m = 0, les équations se réduisent aux équations de Maxwell dans le vide.

L'équation de Proca correspond à quatre équations, que l'on peut décomposer en une équation scalaire (la partie temporelle ${\displaystyle \mu =0}$) et une équation vectorielle (${\displaystyle \mu =i}$) :

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}$

où ${\displaystyle \Box }$ est le D'alembertien.

L'action de Proca est une version de l'action de Stueckelberg avec fixage de jauge via le mécanisme Higgs. Quantifier l'action de Proca requiert l'utilisation de contraintes de seconde classe.

Si ${\displaystyle m\neq 0}$ , le 4-vecteur potentiel n'est pas invariant sous une transformation de jauge similaire à celle utilisée en électromagnétisme :

${\displaystyle {\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}}$

où ${\displaystyle f}$ est une fonction arbitraire.

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