Équations de London

Il est important de noter que les équations de Maxwell-London ne peuvent pas être prouvées formellement[12]. Les frères London ont toutefois suivi une logique intuitive dans la formulation de leur théorie.

Il existe une très large gamme de matériaux de compositions différentes suivant en premier approximation la loi d'Ohm, qui stipule que le courant les traversant est égal au champ électrique multiplié par la conductivité du matériau. L'utilisation d'une loi linéaire comme celle-ci est à proscrire pour un matériau supraconducteur qui possède par définition une résistance nulle ou une conductivité infinie. Pour pallier ce problème les frère London ont supposé que les électrons dans un supraconducteur étaient libres et sous l'influence d'un champ électromagnétique externe uniforme. En appliquant le principe fondamental de la dynamique aux électrons soumis à la force de Lorentz, on obtient

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\dot {\vec {v}}}=-e({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}).}$

On s'attend donc à ce que les électrons soient uniformément accélérés. En l'absence de champ magnétique et avec la définition de la densité de courant supraconducteur ${\displaystyle {\vec {j}}_{\mathrm {s} }=-n_{\mathrm {s} }e{\vec {v}}_{\mathrm {s} }}$, on obtient

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {j}}_{\mathrm {s} }}{\partial t}}=-n_{\mathrm {s} }e{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}={\frac {n_{\mathrm {s} }e^{2}}{m}}{\vec {E}}\,.}$

C'est la première équation de Maxwell-London. Pour obtenir la deuxième équation, on prend le rotationnel de la première puis auquel on applique l'équation de Maxwell-Faraday, ${\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$ pour obtenir

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {j}}_{\mathrm {s} }+{\frac {n_{\mathrm {s} }e^{2}}{m}}{\vec {B}}\right)=0.}$

Dans son expression actuelle, cette équation comporte à la fois des solutions constantes et à décroissance exponentielle. Les frères London ont considéré à partir de l'effet Meissner que les solutions constantes non nulles n'étaient pas physiques, et ont donc postulé que l'expression entre parenthèses devait être nulle, soit

${\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {j}}_{\mathrm {s} }+{\frac {n_{\mathrm {s} }e^{2}}{m}}{\vec {B}}=0.}$

qui est la deuxième équation de Maxwell-London. On a égalemet ${\displaystyle {\vec {j}}_{\mathrm {s} }=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}{\vec {A}}_{\mathrm {s} }}$ (à une transformation de jauge près fixée par la condition de jauge de London) puisque le champ magnétique est défini par ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\operatorname {rot} }}\,{\vec {A}}_{\rm {s}}.}$ De plus, on peut déduire de l'équation de Maxwell-Ampère que :

${\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}\,({\vec {\operatorname {rot} }}\,{\vec {B}})=\mu _{0}{\vec {\operatorname {rot} }}\,{\vec {j}}_{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}{\vec {B}}.}$

D'autre part, l'équation de Maxwell-Thomson, ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=0}$, et l'égalité vectorielle ${\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}\,({\vec {\operatorname {rot} }}\,{\vec {B}})={\vec {\operatorname {grad} }}(\operatorname {div} {\vec {B}})-\Delta {\vec {B}}}$, nous permettent d'écrire

${\displaystyle \Delta {\vec {B}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\vec {B}}}$

avec la longueur de pénétration de London ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$ . À une dimension, cette équation de Helmholtz a pour solution générale

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}\exp \left(-{\frac {x}{\lambda _{\rm {s}}}}\right).\,}$

À l'intérieur du supraconducteur ${\displaystyle (x>0)}$, le champ magnétique décroît de manière exponentielle, ce qui explique bien l'effet Meissner. On peut appliquer une nouvelle fois l'équation de Maxwell-Ampère au champ magnétique pour obtenir le supercourant ${\displaystyle {\vec {j}}_{\rm {s}}}$. On s'aperçoit qu'il circule essentiellement proche de la surface comme attendu de par son interprétation comme une densité courant.

Le raisonnement ci-dessus est valable pour les matériaux supraconducteurs mais on peut utiliser le même genre d'arguments pour le conducteur parfait. Cependant, un fait important qui distingue le supraconducteur du conducteur parfait est que ce dernier ne présente pas d'effet Meissner pour ${\displaystyle T<T_{c}}$ . Cela tient au fait que ${\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {j}}_{\mathrm {s} }+{\frac {n_{\mathrm {s} }e^{2}}{m}}{\vec {B}}=0}$ est faux pour un conducteur parfait et il faut conserver la dérivée temporelle. On a donc une équation sur ${\displaystyle \partial {\vec {B}}/\partial t}$ au lieu de ${\displaystyle {\vec {B}}}$,

${\displaystyle \Delta {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}.}$

Pour ${\displaystyle T<T_{c}}$, à une profondeur suffisante dans un conducteur parfait nous avons ${\displaystyle \partial {\vec {B}}/\partial t=0}$ plutôt que ${\displaystyle {\vec {B}}=0}$ comme pour le supraconducteur. Par conséquent, la disparition ou non du flux magnétique à l'intérieur d'un conducteur parfait dépend de la condition initiale (qu'il soit refroidi ou non).

Il est également possible de justifier autrement les équations de Maxwell-London[13] - [14]. La densité de courant est définie par

${\displaystyle {\vec {j}}_{\mathrm {s} }=-n_{\mathrm {s} }e{\vec {v}}_{\mathrm {s} }}$

On peut utiliser la description quantique de cette équation en remplaçant ${\displaystyle {\vec {j}}_{\rm {s}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}_{\rm {s}}}$ par les valeurs moyennes de leurs opérateurs respectifs. L'opérateur vitesse est défini par

${\displaystyle {\hat {\vec {v}}}_{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left({\hat {\vec {p}}}+e{\hat {\vec {A}}}_{\rm {s}}\right),}$

ou ${\displaystyle {\hat {\vec {p}}}}$ est l'opérateur impulsion et ${\displaystyle m}$ la masse d'un électron[15]. On peut noter qu'on utilise ${\displaystyle -e}$ comme charge électronique. On peut alors faire ce remplacement dans l'équation du supercourant donnant

${\displaystyle {\hat {\vec {j}}}_{\mathrm {s} }=-{\frac {n_{\rm {s}}e}{m}}\left({\hat {\vec {p}}}+e{\hat {\vec {A}}}_{\rm {s}}\right),}$

Cependant, une hypothèse importante de la théorie BCS est que l'état supraconducteur d'un système est l'état fondamental, et selon un théorème de Bloch[16], dans un tel état, l'impulsion canonique p est nulle. Finalement, on a donc

${\displaystyle {\hat {\vec {j}}}_{\mathrm {s} }=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}{\hat {\vec {A}}}_{\rm {s}}\,,}$

qui est l'équation de Maxwell-London.