Équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann

Dans le cadre du problème à ${\displaystyle N}$ corps en relativité générale, les équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann (EIH) sont les équations différentielles[1] du mouvement décrivant, à l'approximation post-newtonienne[2] d'ordre 1, la dynamique[1] d'un système à ${\displaystyle N}$ corps[2] - [3] de masses ponctuelles dans le vide[2].

Elles généralisent le principe fondamental de la dynamique newtonienne[4].

Les équations s'expriment d'ordinaire dans le référentiel barycentrique[3] et en coordonnées harmoniques[3]. Elles s'écrivent alors[5] :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}_{A}=&-\sum _{B\neq A}{\frac {GM_{B}}{r_{AB}^{2}}}{\vec {n}}_{AB}\\&+{\frac {1}{c^{2}}}\left\{-\sum _{B\neq A}{\frac {GM_{B}}{r_{AB}^{2}}}\left[v_{A}^{2}-4\left({\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {v}}_{B}\right)+2v_{B}^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\vec {n}}_{AB}\cdot {\vec {v}}_{B}\right)^{2}-{\frac {5GM_{A}}{r_{AB}}}-{\frac {4GM_{B}}{r_{AB}}}\right]{\vec {n}}_{AB}\right.\\&\qquad \quad +\sum _{B\neq A}{\frac {GM_{B}}{r_{AB}}}\left[{\vec {n}}_{AB}\cdot \left(4{\vec {v}}_{A}-3{\vec {v}}_{B}\right)\right]\left({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B}\right)\\&\qquad \quad +\sum _{B\neq A}\sum _{C\neq A,B}{\frac {G^{2}M_{B}M_{C}}{r_{AB}^{2}}}\left[{\frac {4}{r_{AC}}}+{\frac {1}{r_{BC}}}-{\frac {r_{AB}}{2r_{BC}^{2}}}\left({\vec {n}}_{AB}\cdot {\vec {n}}_{BC}\right)\right]{\vec {n}}_{AB}\\&\qquad \quad \left.-{\frac {7}{2}}\sum _{B\neq A}\sum _{C\neq A,B}{\frac {G^{2}M_{B}M_{C}}{r_{AB}r_{BC}^{2}}}{\vec {n}}_{BC}\right\}+O\left(c^{-4}\right)\end{aligned}}}$,

où :

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide,
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle.

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