Équation différentielle à retard

• Retard continu
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,\mathrm {d} \mu (\tau )\right)}$$

  
• Retard discret
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$

  
• Linéaire avec des retards discrets
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$

  
• Équation du pantographe
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$

  
  où a, b et λ sont des constantes et 0 < λ < 1. Cette équation et certaines formes plus générales portent le nom des pantographes des trains[3] - [4].

Les EDR sont principalement résolus de manière progressive avec un principe appelé la méthode des étapes. Par exemple, considérons le EDR avec un seul retard

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

avec condition initiale donnée ${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Alors la solution sur l'intervalle ${\displaystyle [0,\tau ]}$ est donné par ${\displaystyle \psi (t)}$ qui est la solution du problème de la valeur initiale non homogène

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$

avec ${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$ . Ceci peut être poursuivi pour les intervalles successifs en utilisant la solution de l'intervalle précédent comme terme non homogène. En pratique, le problème de la valeur initiale est souvent résolu numériquement.

Exemple

On suppose ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ et ${\displaystyle \phi (t)=1}$. Ensuite, le problème de la valeur initiale peut être résolu par intégration,

$${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(s)\,\mathrm {d} s=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,\mathrm {d} s,}$$

c'est à dire, ${\displaystyle x(t)=at+1}$, où la condition initiale est donnée par ${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$ . De même, pour l'intervalle ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$ nous intégrons et ajustons la condition initiale,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(s)\,\mathrm {d} s&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)\,\mathrm {d} s\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }(as+1)\,\mathrm {d} s,\end{aligned}}}$$

c'est à dire, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

Dans certains cas, les équations différentielles peuvent être représentées dans un format qui ressemble à des équations différentielles à retard .

• Exemple 1 Considérons une équation
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\mathrm {e} ^{\lambda \tau }\,\mathrm {d} \tau \right).}$$

  

On pose ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\mathrm {e} ^{\lambda \tau }\,\mathrm {d} \tau }$ pour obtenir un système d'EDO

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=x-\lambda y.}$$

• Exemple 2 Une équation
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,\mathrm {d} \tau \right)}$$

  
  est équivalente à
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$

  
  où
  $${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,\mathrm {d} \tau ,\quad z(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,\mathrm {d} \tau .}$$

  

Comme pour les EDOs, de nombreuses propriétés des EDR linéaires peuvent être caractérisées et analysées à l'aide de l' équation caractéristique[5]. L'équation caractéristique associée à l'EDR linéaire à retards discrets

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$

est

$${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}\mathrm {e} ^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}\mathrm {e} ^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$

Les racines λ de l'équation caractéristique sont appelées racines caractéristiques ou valeurs propres et l'ensemble de solutions est souvent appelé spectre. En raison de l'exponentielle dans l'équation caractéristique, le EDR a, contrairement au cas EDO, un nombre infini de valeurs propres, ce qui rend une analyse spectrale plus complexe. Le spectre possède cependant certaines propriétés qui peuvent être exploitées dans l'analyse. Par exemple, même s'il existe un nombre infini de valeurs propres, il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres à droite de toute ligne verticale dans le plan complexe.

Cette équation caractéristique est un problème propre non linéaire et il existe de nombreuses méthodes pour calculer numériquement le spectre[6]. Dans certaines situations particulières, il est possible de résoudre explicitement l'équation caractéristique. Considérez, par exemple, le EDR suivant :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=-x(t-1).}$$

L'équation caractéristique est

$${\displaystyle -\lambda -\mathrm {e} ^{-\lambda }=0.}$$

Il existe un nombre infini de solutions à cette équation pour le complexe λ. Ils sont donnés par

$${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$

où W_k est la k^e branche de la fonction W de Lambert .

• Dynamique du diabète [7]
• Épidémiologie [8] - [9]
• Dynamique des populations [10] - [11]
• Électrodynamique classique [12]

• Fonction de Dickman
• Fonction de Buchstab (en)
• Équation différentielle fonctionnelle (en)
• Inégalité de Halanay (en)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Delay differential equation » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eric W. Weisstein, « Delay Differential Equation », sur MathWorld