Équation de Ramanujan-Nagell

L'équation est

${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$

et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = 3, 4, 5, 7 et 15.

Cette solution a été conjecturée en 1913 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan[1], proposée indépendamment en 1943 par le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren[2], et prouvée en 1948 par le mathématicien norvégien Trygve Nagell[3] - [4]. Les valeurs de x correspondant aux valeurs de n ci-dessus sont respectivement :

x = 1, 3, 5, 11 et 181[5].

Le problème de trouver tous les entiers de la forme 2^b − 1 (nombre de Mersenne) qui sont des nombres triangulaires est équivalent à l'équation de Ramanujan-Nagell :

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}.\end{aligned}}}$

Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l'équation de Ramanujan-Nagell, et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants (également appelés nombres de Ramanujan-Nagell) sont :

${\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}$

pour x = 1, 3, 5, 11 et 181, donnant 0, 1, 3, 15 et 4095 (suite A076046 de l'OEIS).

Une équation de la forme

${\displaystyle x^{2}+D=AB^{n}}$

pour D, A , B fixés et d'inconnues x, n est dit de type Ramanujan-Nagell. Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[6]. L'équation avec A = 1, B = 2 a au plus deux solutions, sauf si D = 7. Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n'existe que deux solutions[5].

Une équation de la forme

${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}$

pour D, A fixés et d'inconnues x, y, n est dite de type Lebesgue-Nagell. Ces équations sont nommées d'après Victor-Amédée Lebesgue, qui a prouvé que l'équation

${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$

n'a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premier[7] - [8].

Les résultats de Shorey et Tijdeman[9] impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[10]. Bugeaud, Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = 1 et 1 ≤ D ≤ 100[11]. En particulier, la généralisation suivante de l'équation de Ramanujan-Nagell

${\displaystyle y^{n}-7=x^{2}}$

a des solutions entières seulement si x = 1, 3, 5, 11 ou 181.