Équation de Navier
L'équation de Navier
On note
le champ des déplacements et
la force volumique qui s'exerce.
On a :
où
et
sont les coefficients de Lamé du solide et
sa masse volumique. On peut écrire cette équation en fonction du module d'Young E et du coefficient de Poisson
:
Démonstration
On note
le tenseur des contraintes et
le tenseur des déformations.
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
![{\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} _{v}}](https://img.franco.wiki/i/4e85957ce32315ccedd6d22ce60fcc13fc972742.svg)
D'autre part, on a la loi de Hooke :
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {e}}}](https://img.franco.wiki/i/075c6029b1cd29321ea16d315c0953193a2eaf76.svg)
d'où (en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein)) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}\right)_{i}&=\lambda \left(\mathbf {div} \left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} \right)\right)_{i}+2\mu \left(\mathbf {div} {\boldsymbol {e}}\right)_{i}\\\ &=\lambda {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} \right)_{ij}+2\mu {\frac {\partial e_{ij}}{\partial x_{j}}}\\\ &=\lambda {\frac {\partial e_{ll}}{\partial x_{i}}}+2\mu {\frac {\partial e_{ij}}{\partial x_{j}}}\\\ &=\lambda {\frac {\partial ^{2}u_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}+\mu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\\\ &=(\lambda +\mu ){\frac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}\\\ &=\left(\lambda +\mu \right)(\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right))_{i}+\mu (\Delta \mathbf {u} )_{i}\end{aligned}}}](https://img.franco.wiki/i/c4ce5cd5a8e286fd3a71c55c1332262a67f52149.svg)
ce qui donne la relation cherchée.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
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