Équation de Chapman-Kolmogorov

Lorsque le processus stochastique considéré est markovien, l'équation de Chapman-Kolmogorov devient une relation entre les lois de transition. Dans le cadre des chaînes de Markov, on suppose que i₁ < ... < i_n, et grâce à la propriété de Markov, on a

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),}$

où les probabilités conditionnelles ${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})}$ sont les probabilités de transition entre les temps ${\displaystyle i>j}$. Ainsi, l'équation de Chapman–Kolmogorov devient

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.}$

Lorsque la loi de probabilité de l'espace d'états de la chaîne de Markov est discret et que la chaîne est homogène, l'équation de Chapman-Kolmogorov peut être exprimée en termes de produit de matrices (éventuellement de dimension infinie), de la manière suivante :

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

où P(t) est la matrice de transition, i.e., si X_t est l'état du processus au temps t, alors pour tout couple de points i et j de l'espace d'état, on a

${\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).\,}$

Le mathématicien français d'origine allemande Wolfgang Döblin termine son mémoire sur la résolution de cette équation mi-février 1940 alors qu'il était dans l'armée de terre Française, il se suicide après l'annonce de la demande de l'Armistice de 1940. Le pli cacheté 11-668 qu'il envoya à l'Académie des sciences ne fut ouvert qu'en 2000[1].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Chapman–Kolmogorov equation » (voir la liste des auteurs).

• Équation de Fokker-Planck (Équation de Kolmogorov forward)
• Équation de Kolmogorov backward
• Chaîne de Markov
• Équation maîtresse (physique)
• Wolfgang Döblin