Équation maîtresse

En physique, une équation maîtresse est une équation différentielle décrivant l'évolution temporelle d'un système. C'est une équation de taux pour les états du système.

L'évolution de la probabilité ${\displaystyle P_{k}}$ d'être dans l'état discret k suit une équation du type :

${\displaystyle {\frac {dP_{k}}{dt}}=\sum _{\ell }\Gamma _{k\ell }P_{\ell },}$

soit encore sous forme vectorielle

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\Gamma .{\vec {P}}}$

La matrice ${\displaystyle \Gamma _{\ell k}}$ est parfois appelée matrice des taux de transitions.

Cette équation se retrouve en mathématique lors des traitements probabilistes des chaînes de Markov.

Pour que la probabilité totale se conserve, ${\displaystyle \sum _{\ell }\Gamma _{\ell k}=0}$

et l'équation maîtresse peut donc se réécrire

${\displaystyle {\frac {dP_{k}}{dt}}=\sum _{\ell }(\Gamma _{k\ell }P_{\ell }-\Gamma _{\ell k}P_{k}).}$

Cette forme permet directement de voir les taux de départ ${\displaystyle \Gamma _{\ell k}}$ de l'état k et les taux d'arrivée ${\displaystyle \Gamma _{k\ell }}$ vers cet état.

Par ailleurs en imposant : ${\displaystyle \Gamma _{\ell k}\geq 0\quad \ell \neq k}$, c'est-à-dire en ne permettant que le transfert vers d'autre états et pas de terme de source, on a les propriétés suivantes (le nombre d'états disponibles étant fini par définition) [1]:

1. ${\displaystyle \forall {\vec {P}}\quad |\quad \sum _{\ell }P_{\ell }(0)=1,\quad \sum _{\ell }P_{\ell }(t)=1}$
2. trois cas sont possibles en fonction de la forme de ${\displaystyle \Gamma }$ :
   • ${\displaystyle \Gamma }$ décomposable : une renumérotation des états montre que la matrice est diagonale par blocs (l'évolution est celle de plusieurs sous systèmes indépendants qui ne communiquent pas entre eux)
   • ${\displaystyle \Gamma }$ séparable : une permutation des états montre que la matrice est triangulaire supérieure par blocs (l'évolution d'un sous système est prédictible indépendamment du reste et est transitoire, i.d. la probabilité de chacun de ses états tend vers 0 aux temps longs.)
   • ${\displaystyle \Gamma }$ a une unique solution stationnaire vers laquelle toute solution converge lorsque ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, donné par l'unique vecteur propre à droite de valeur propre 0 (${\displaystyle {\vec {1}}^{t}}$ étant évidemment vecteur propre à gauche d'après la formule de conservation de la probabilité).

Le dernier des cas, peut-être assuré dans le cadre de l'hypothèse ergodique qui spécifie que chaque état est en relation avec chacun des autres par nombre fini de transitions :

${\displaystyle \forall k,l\quad \exists p\in \mathbb {N} \quad |\quad (\Gamma ^{p})_{k,l}>0}$

Une généralisation de cette équation est l'équation de Fokker-Planck pour l'évolution d'un nombre infini d'état k.

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