Équation de Basset–Boussinesq–Oseen

La force s'exerçant sur une particule sphérique

• de diamètre ${\displaystyle d_{p}}$
• de masse volumique ${\displaystyle \rho _{p}}$,
• de masse ${\displaystyle m_{p}={\frac {\pi }{6}}\rho _{p}d_{p}^{3}}$,
• de vitesse ${\displaystyle \mathbf {V} _{p}}$

dans un écoulement de fluide à faible vitesse

• de masse volumique ${\displaystyle \rho _{f}}$,
• de vitesse ${\displaystyle \mathbf {V} _{f}}$,
• où les longueurs caractéristiques (variation de masse volumique, de vitesse, etc.) sont du même ordre de grandeur que la taille de la particule

est donnée par l'expression suivante[4] :

${\displaystyle m_{p}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {V} _{p}}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {3\pi \mu d_{p}(\mathbf {V} _{f}-\mathbf {V} _{p})} _{\text{traînée (Stokes)}}+\underbrace {{\frac {m_{f}}{2}}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\mathbf {V} _{f}-\mathbf {V} _{p}\right)} _{\text{masse ajoutée}}+\underbrace {{\frac {3}{2}}d_{p}^{2}{\sqrt {\pi \rho _{f}\mu }}\int _{t_{_{0}}}^{t}{\frac {1}{\sqrt {t-\tau }}}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}\tau }}\left(\mathbf {V} _{f}-\mathbf {V} _{p}\right)\,{\text{d}}\tau } _{\text{force de Basset}}+\underbrace {(m_{p}-m_{f})\mathbf {g} } _{\text{poussée d'Archimède}}}$

où ${\displaystyle m_{f}={\frac {\pi }{6}}\rho _{f}d_{p}^{3}}$ est la masse du fluide déplacé par la particule.

• Le terme de masse ajoutée est le terme inertiel lié au fait que le fluide en contact avec la particule a la même accélération que celle-ci.
• La force de Basset est liée à l'accélération du fluide le long de la trajectoire de la particule (terme d'histoire entre ${\displaystyle t_{0}}$ et ${\displaystyle t}$).

Cette expression est valable dans le domaine limité par :

• un nombre de Reynolds faible

${\displaystyle {\frac {\rho _{f}\max \left\{\left|\left|\mathbf {V} _{f}-\mathbf {V} _{p}\right|\right|\right\}\,d_{p}}{\mu }}\,<\,1}$

• un écoulement homogène autour de la particule, en particulier sans décollement

${\displaystyle d_{p}\,<\,{\frac {l_{K}}{6}}}$

où ${\displaystyle l_{K}}$ est l'échelle de Kolmogorov.

Cette expression a été par la suite généralisée pour prendre en compte :

• la correction de Faxén pour la traînée tenant compte des inhomogénéités locales autour de la particule

${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}\mu d_{p}^{3}\nabla ^{2}\mathbf {V} _{f}}$ où ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ est le laplacien vectoriel,

• un nombre de Reynolds plus grand,
• des particules non sphériques, dotées d'une portance,
• un milieu compressible[5].

Une équation peut également être écrite pour la rotation, celle-ci pouvant être présente même pour une particule sphérique du fait des gradients de vitesse dans le plan perpendiculaire à la trajectoire.