Égalisation d'histogramme

La transformation T permet d'égaliser l'histogramme et d'améliorer le contraste.

La méthode consiste à appliquer une transformation T indépendamment sur chaque pixel de l'image. Cette transformation est construite à partir de l'histogramme cumulé.

Pour une image {x} en niveaux de gris codée sur ${\displaystyle L}$ niveaux, on définit n_k le nombre d'occurrences du niveau x_k. La probabilité d'occurrence d'un pixel de niveau x_k dans l'image est:

${\displaystyle \ p_{x}(x_{k})=p(x=x_{k})={\frac {n_{k}}{n}},\quad 0\leq k<L}$

avec n le nombre total de pixels de l'image, et p_x l'histogramme normalisé sur [0,1].

La transformation T qui à chaque pixel de valeur x_k de l'image d'origine associe une nouvelle valeur s_k, ${\displaystyle s_{k}=T(x_{k})}$ est alors définie par[1]

${\displaystyle T(x_{k})=(L-1)\sum _{j=0}^{k}p_{x}(x_{j})}$ , où ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}p_{x}(x_{j})}$ est l'histogramme cumulé.

que l'on peut écrire aussi:

${\displaystyle T(x_{k})={\frac {(L-1)}{n}}\sum _{j=0}^{k}n_{j}}$

Il est possible de donner une justification théorique à l'égalisation d'histogramme si on se place dans le cas continu. Pour une image {x} en niveaux de gris codée sur ${\displaystyle L}$ niveaux, les intensités des pixels de l'image sont vues comme des variables aléatoires dans ${\displaystyle [0,L-1]}$. On considère les densités de probabilités ${\displaystyle p_{x}(x)}$ et ${\displaystyle p_{s}(s)}$ de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle s}$ et la transformation T telle que ${\displaystyle s=T(x)}$ avec ${\displaystyle T}$ continue, différentiable et strictement croissante. On a alors:

${\displaystyle p_{s}(s)=p_{x}(x)\left|{\frac {dx}{ds}}\right|}$

En choisissant ${\displaystyle T}$ comme la fonction de répartition de la variable aléatoire x:

${\displaystyle T(x)=(L-1)\int _{0}^{x}p_{x}(w)\,\mathrm {d} w}$

alors on peut montrer[2] que la densité de probabilité de ${\displaystyle s}$ est uniforme et égale à

${\displaystyle p_{s}(s)={\frac {1}{L-1}}}$.

L'application de la transformation ${\displaystyle T}$ permet donc de transformer la densité de probabilité d'origine en une loi uniforme, ce qui est le but recherché dans l'égalisation d'histogramme, puisque tous les niveaux seraient utilisés, et avec une égale probabilité. Toutefois, en pratique, c'est-à-dire avec des histogrammes discrets, il est rare d'obtenir des histogrammes plats, mais la méthode permet de mieux répartir les intensités sur l'ensemble de la plage de valeurs[1].

Pour les images couleurs, il faut étendre la méthode d'égalisation en niveau de gris aux 3 composantes de couleur (ex. RVB). Il est possible de faire une égalisation indépendamment sur chaque composante, toutefois ceci dégrade les couleurs, et n'est donc pas utilisé en pratique[3]. La méthode utilisée est de réaliser l'égalisation uniquement sur les intensités, sans toucher aux couleurs. Ceci est fait en général dans l'espace colorimétrique HSV, où l'égalisation est réalisée sur la composante V uniquement[3].

• Acharya and Ray, Image Processing: Principles and Applications, Wiley-Interscience 2005 (ISBN 0-471-71998-6)
• Russ, The Image Processing Handbook: Fourth Edition, CRC 2002 (ISBN 0-8493-2532-3)
• (en) Rafael C. Gonzalez et Richard E. Woods, Digital Image Processing, Pearson Prentice Hall, 2008

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « histogram equalization » (voir la liste des auteurs).