Vers de Paterson

De façon générale, les vers de Paterson sont un type de turmite définis sur les bords d'une grille isométrique hexagonale.

En considérant une grille triangulaire infinie, on considère l'un des nœuds de cette grille comme étant un « ver ». Le ver se déplace initialement le long d'une ligne de la grille vers le nœud immédiatement situé à sa droite.

Arrivé à ce nœud, le ver peut prendre cinq directions possibles sans revenir sur ses pas. On pose que le ver prend l'une d'entre elles, avance vers le nœud suivant en conséquence et continuera à faire de même tant qu'il arrivera sur un nœud où cinq directions sont possibles :

• Si le ver a continué tout droit, il continuera à faire de même indéfiniment
• Si le ver a tourné de 60° à gauche ou à droite, il fera de même pendant cinq tours pour finalement retomber après un parcours hexagonal sur le nœud de départ où seules quatre directions sont possibles, puisqu'une cinquième a déjà été empruntée par le ver
• Si le ver a tourné de 120° à gauche ou à droite, il retombe sur le nœud initial au bout de deux tours et là aussi, seules quatre directions sont possibles.

Dans les deux derniers cas, il est nécessaire de définir une direction que le ver va prendre parmi les quatre possibles. Ensuite, on procède à chaque nœud de la manière suivante :

• Si la situation a déjà été rencontrée par le ver, il se déplace comme il l'a fait dans cette situation
• Si la situation est inédite, on choisit une direction. Elle sera ensuite utilisée à chaque fois que la même situation se produira
• Si le ver arrive sur un nœud dont toutes les directions ont déjà été utilisées, il s'arrête.

En arrivant sur un nœud, le ver a cinq directions possibles. On note « 0 » celle qui est en face d'elle (relativement à sa direction d'arrivée), « 1 » et « 5 » celles qui sont à 60° à sa droite et à sa gauche, « 2 » et « 4 » celles qui sont à 120° à sa droite et à sa gauche. La notation « 3 » correspond à la direction dont il vient et ne peut donc pas être utilisée.

On détermine alors le parcours d'un ver en notant les différents choix qu'on a fait. Ainsi, le ver « 244 » tourne de 120° à droite pendant les 3 premiers tours, puis de 120° à gauche, puis à nouveau de 120° à droite pendant 2 tours, puis de 120° à gauche. Après avoir tourné de 120° à droite pendant 2 derniers tours, le ver retourne au nœud de départ sans nouvelle direction possible et s'arrête.

Il n'existe que 412 règles possibles distinctes (en considérant les règles symétriques entre elles par rapport au départ comme une seule règle). Parmi elles :

• 336 se terminent au bout d'un certain nombre d'étapes, parfois très grand. Ainsi, le ver « 1042020 » ne s'arrête qu'au bout de 57 493 855 205 939 étapes. En revanche, les règles « 200 » et « 244 » s'arrêtent au bout de seulement 9 étapes.
• 73 sont infinies, à savoir que le ver ne s'arrête jamais.
• 3 sont toujours indéterminées en 2015. « 1252121 » et « 1525115 » sont probablement infinies, tandis que « 1042015 » a été poussée au-delà de la 10^19e étape sans que l'on puisse conclure.

Voici une liste des règles possibles pour le comportement d'un ver de Paterson :