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Variété de Shimura

En algèbre, les variétés de Shimura sont des analogues de dimension élevée des courbes modulaires. Ils sont formés comme la variété de quotient d'un espace hermitien symétrique par rapport à un sous-groupe de congruence d'un groupe réductif algébrique (défini sur les nombres rationnels).

Les variétés de Shimura portent le nom de Gorō Shimura.

Définition formelle

Notation:

  • est le tore de Deligne, c'est-à-dire le tore algébrique sur , que l'on obtient de sur par la restriction de Weil (restriction des scalaires (en))[2].
  • est le groupe adjoint de , c'est-à-dire le groupe de quotient de avec son centre.
  • est l'anneau adélique finie de , c'est-à-dire le produit restreint
parcourt les éléments premiers finis de [3].
  • est le sous-groupe de .
  • est composant connexes de .

Date de Shimura

Une date de Shimura est un couple constitué d'un groupe réductif sur et une -classe de conjugaison des homomorphismes , qui doit vérifier :

  1. Pour tout , définit une structure de Hodge sur l'algèbre de Lie de type
  2. Pour tout , l'operation est une involution de Cartan de .
  3. n'a pas de -facteur sur lequel la projection de est triviale[4]
Exemple
  • Soit et (la notation GL désignant les groupes linéaires) défini par
et est l'ensemble des -conjugués de
Alors est une date de Shimura[5].

Variétés de Shimura

Soit une date de Shimura.

Espace de double classe

Pour un sous-groupe compact et ouvert , on définit l'espace de double classe (en anglais double coset space) par

avec l'opération

Cette opération signifie que opère sur les deux composants et à partir de la gauche. n'opère que sur la deuxième composante à partir de la droite.

Union des variétés algébriques

est une union disjointe finie de variétés arithmétiques localement symétriques

(voir par exemple [6] pour la définition de telles variétés algébriques ).

Système inverse

Si on fait varier (suffisamment petit), on obtient un système inverse (aussi appelé système projectif) de variétés algébriques

opère sur ce système à travers

et

Ce système inverse muni de l'opération est appelé variété de Shimura et est noté avec [7].

Références

  1. (en) Victor Roger, Introduction to Shimura Varieties, Centre de Recerca Matemàtica, (lire en ligne), p. 20
  2. (en) James Milne, Introduction to Shimura Varieties, vol. 4, American Mathematical Society, coll. « Clay Math. Proc. », (lire en ligne), p. 26
  3. (en) James Milne, Introduction to Shimura Varieties, vol. 4, American Mathematical Society, coll. « Clay Math. Proc. », (lire en ligne), p. 42
  4. (en) James Milne, Introduction to Shimura Varieties, vol. 4, American Mathematical Society, coll. « Clay Math. Proc. », (lire en ligne), p. 54-55
  5. (en) James Milne, Introduction to Shimura Varieties, vol. 4, American Mathematical Society, coll. « Clay Math. Proc. », (lire en ligne), p. 55
  6. (en) James Milne, Introduction to Shimura Varieties, vol. 4, American Mathematical Society, coll. « Clay Math. Proc. », (lire en ligne), p. 38-39
  7. (en) James Milne, Introduction to Shimura Varieties, vol. 4, American Mathematical Society, coll. « Clay Math. Proc. », (lire en ligne), p. 57-58
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