Variété de Hessenberg

Une fonction de Hessenberg est une applications

${\displaystyle h:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow \{1,2,\ldots ,n\}}$

telle que

${\displaystyle h(i+1)\geq \max(i,h(i))}$

pour tout ${\displaystyle 1\leq i<n}$. Par exemple, la fonction qui envoie les nombres ${\displaystyle (1,2,3,4,5)}$ sur ${\displaystyle (2,3,3,4,5)}$ est une fonction de Hessenberg.

Pour une fonction de Hessenberg ${\displaystyle h}$ et une transformation linéaire

${\displaystyle X:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$

la variété de Hessenberg ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X,h)}$ est l'ensemble des drapeaux ${\displaystyle F_{\bullet }}$ tels que

${\displaystyle X\cdot F_{i}\subseteq F_{h(i)}}$

pour tout i.

Exemples de variétés Hessenberg, avec leur fonction de Hessenberg ${\displaystyle h}$ :

• La variété des drapeaux totaux avec ${\displaystyle h(i)=n}$ pour tout i ;
• La variété de Peterson, pour laquelle ${\displaystyle h(i)=i+1}$ pour ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$ ;
• La variété de Springer, où ${\displaystyle h(i)=i}$ pour tout ${\displaystyle i}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hessenberg variety » (voir la liste des auteurs).

• Filippo De Mari, Claudio Procesi et Mark A. Shayman, « Hessenberg varieties », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 332, n^o 2,‎ 1992, p. 529-534 (DOI 10.1090/S0002-9947-1992-1043857-6, MR 1043857).
• Bertram Kostant, « Flag manifold quantum cohomology, the Toda lattice, and the representation with highest weight ${\displaystyle \rho }$ », Selecta Mathematica (N.S.), vol. 2,‎ 1996, p. 43-91.
• Julianna Tymoczko, « Linear conditions imposed on flag varieties », American Journal of Mathematics, vol. 128,‎ 2006, p. 1587–1604.
• Megumi Harada et Martha Precup, « The cohomology of abelian Hessenberg varieties and the Stanley-Stembridge conjecture », Algebr. Comb., vol. 2, n^o 6,‎ 2019, p. 1059-1108 (zbMATH 1454.14121).
• Hiraku Abe, Naoki Fujita et Haozhi Zeng, « Geometry of regular Hessenberg varieties », Transformation Groups, vol. 25, n^o 2,‎ 2020, p. 305-333 (zbMATH 1451.14148, arXiv 1712.09269).
• Megumi Harada, Tatsuya Horiguchi, Satoshi Murai, Martha Precup et Julianna Tymoczko, « A filtration on the cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties », Math. Z., vol. 298, n^os 3-4,‎ 2021, p. 1345-1382 (zbMATH 1479.14064).