Treizième problème de Hilbert

Le treizième problème de Hilbert est l'un des vingt-trois problèmes de Hilbert, posés par David Hilbert en 1900. Il s'agissait d'un problème de nomographie : montrer l'impossibilité, pour l'équation générale du septième degré

${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0,}$

d'exprimer la solution (vue comme fonction des trois paramètres a, b et c) comme composée d'un nombre fini de fonctions continues de seulement deux variables.

Vladimir Arnold a réfuté cette conjecture en 1957 (à 19 ans) d'après les travaux de son maître Andreï Kolmogorov, en démontrant plus généralement que toutes les fonctions continues peuvent s'exprimer par composition à partir d'un nombre fini de fonctions continues de deux variables. Plus précisément, il existe n(2n + 1) fonctions continues universelles Φ_ij (de [0, 1] dans [0, 1]) telles que pour toute fonction continue f :[0, 1]ⁿ → [0, 1], il existe 2n + 1 fonctions continues g_j :[0, 1] → [0, 1] telles que ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{2n+1}g_{j}\left(\sum _{i=1}^{n}\Phi _{ij}(x_{i})\right).}$

Kolmogorov avait montré, un an auparavant, que des fonctions de 3 variables suffisaient et Arnold a donc amélioré ce 3 en un 2. Arnold a aussi étudié la question analogue pour des fonctions algébriques, en collaboration avec Goro Shimura[1].

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