Transverse universelle de Mercator

Les formules exactes sont compliquées et peu utilisables. Nous proposons des formules approchées avec une précision de l'ordre du centimètre.

Par convention, on utilise le système géodésique WGS 84 qui décrit la terre par un ellipsoïde de révolution d'axe Nord-Sud, de rayon à l'équateur ${\displaystyle a}$ = 6 378,137 km et d'excentricité ${\displaystyle e}$ = 0,0818192.

On considère un point de latitude géodésique ${\displaystyle \varphi }$ et longitude ${\displaystyle \lambda }$.

Notons ${\displaystyle \lambda _{0}}$ la longitude du méridien de référence (longitude correspondant au milieu de la zone UTM visée).

Les angles sont exprimés en radian.

Voici des valeurs intermédiaires à calculer :

Dans l'hémisphère Nord ${\displaystyle N_{0}}$ = 0 et dans l'hémisphère Sud ${\displaystyle N_{0}}$ = 10 000 km.

Voici les formules de passage donnant les coordonnées UTM ${\displaystyle (E,N)}$ en kilomètres :

Un exemple détaillé d'utilisation des formules

Prenons ${\displaystyle \lambda =}$5°50'51", ${\displaystyle \varphi =}$45°09'33", on est dans le fuseau 31 (fuseau compris entre 0° et 6°), ${\displaystyle \lambda _{0}=}$ 3°. Vous devez trouver : en considérant l'ellipsoïde WGS84 (demi-grand axe a=6378.137 km et aplatissement f = 1/298.257223563). On rappelle que l'excentricité au carré se calcule de la manière suivante :

${\displaystyle e^{2}=2\ f-f^{2}}$

${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}=0.0496983}$ radians

${\displaystyle A=0.0350442107}$,

${\displaystyle C=0.0033510263}$,

${\displaystyle T=1.01117395}$,

${\displaystyle \nu (\varphi )=}$ 1.00169,

${\displaystyle s(\varphi )=}$0.784340804,

et enfin

${\displaystyle E}$ = 723,803 93 km et ${\displaystyle N}$ = = 5 004,577 04 km

Voici des valeurs intermédiaires à calculer :

Voici les formules de passage donnant les coordonnées UTM ${\displaystyle (E,N)}$ en kilomètres :

Faisons une remarque préalable : le terme de "projection de Mercator" pourrait laisser entendre qu'il y a une droite joignant un point du géoïde au point correspondant du cylindre qui l'enroule. Ce n'est pas le cas.

Ce n'est pas le cas non plus pour la plupart des projections cartographiques comme la projection de Lambert entre le géoïde et un cône tangent. C'est le cas cependant pour la projection stéréographique. Par conséquent nous n'allons pas démontrer les formules à l'aide d'une projection.

Nous allons démontrer les formules en deux étapes. La première étape généralise l'emploi des coordonnées conformes de Mercator de la sphère au cas d'un ellipsoïde de révolution. Nous les appellerons coordonnées de Mercator généralisées.

La deuxième étape est une transformation conforme des coordonnées de Mercator généralisées vers les coordonnées UTM, avec la convention que ces coordonnées coïncident le long du méridien de référence.

Une troisième étape reprend la même démarche pour retrouver de façon directe les coordonnées de Lambert.

Comme pour la projection de Mercator nous posons ${\displaystyle x=\lambda }$. Cela va déterminer la fonction ${\displaystyle y(\varphi )}$.

Appelons ${\displaystyle \rho (\varphi )}$ la distance entre le point considéré de l'ellipsoïde et l'axe Nord-Sud. Appelons ${\displaystyle R(\varphi )}$ le rayon de courbure le long du méridien. Un petit déplacement ${\displaystyle d\varphi ,d\lambda }$ sur l'ellipsoïde correspond à une distance :

appelée tenseur métrique de l'ellipsoïde.

L'exigence que ${\displaystyle x,y}$ soient des coordonnées conformes impose au tenseur métrique de s'écrire :

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(\varphi )d\varphi ^{2}+\rho ^{2}(\varphi )d\lambda ^{2}=k(\varphi ,\lambda )(dx^{2}+dy^{2})}$

où ${\displaystyle k(\varphi ,\lambda )}$ est une fonction. La convention ${\displaystyle x=\lambda }$ implique que ${\displaystyle k(\varphi ,\lambda )=\rho ^{2}(\varphi )}$ et

${\displaystyle {\frac {dy(\varphi )}{d\varphi }}={\frac {R(\varphi )}{\rho (\varphi )}}}$

Bien que nous n'en ayons pas besoin dans la suite, cette équation différentielle s'intègre sans grande difficulté (voir déroulé), on trouve l'expression des coordonnées conformes de Mercator généralisées :

${\displaystyle x(\lambda )=\lambda ,\qquad y(\varphi )=\ln \left(\tan \left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{e/2}\right)}$

Expressions de ${\displaystyle \rho (\varphi )}$ et de ${\displaystyle R(\varphi )}$ et détails de l'intégration

La représentation paramétrique ad-hoc de l'ellipse qui est utilisée pour l'ellipsoïde terrestre dans les systèmes de projection Mercator aussi bien que Lambert et UTM est :

${\displaystyle x(\varphi )=a\nu (\varphi )\cos(\varphi )}$, ${\displaystyle y(\varphi )=a(1-e^{2})\nu (\varphi )\sin(\varphi )}$

respectivement la distance au petit axe de l'ellipse ${\displaystyle \rho (\varphi )}$, l'axe Nord Sud en l'occurrence et la distance au grand axe, en l'occurrence la distance au plan équatorial avec

${\displaystyle \nu (\varphi )=1/{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$

On vérifie sans peine qu'avec ${\displaystyle b^{2}/a^{2}=1-e^{2}}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

On vérifie aussi sans peine que

${\displaystyle dx=-a(1-e^{2})\nu ^{3}(\varphi )\sin \varphi d\varphi }$ et ${\displaystyle dy=a(1-e^{2})\nu ^{3}(\varphi )\cos \varphi d\varphi }$

et ainsi que ${\displaystyle \varphi }$ est bien la latitude, angle formé par la normale à l'ellipse avec le grand axe. Si on regarde l'élément différentiel d'arc on trouve ${\displaystyle ds={\sqrt {(}}dx^{2}+dy^{2})=a(1-e^{2})\nu ^{3}(\varphi )d\varphi }$ ce qui nous donne accès au rayon de courbure ${\displaystyle R(\varphi )=a(1-e^{2})\nu ^{3}(\varphi )}$

Quelques indications pour intégrer l'équation différentielle ( [eq:Differentiel-Mercator])

Soit ${\displaystyle {\frac {dy(\varphi )}{d\varphi }}={\frac {R(\varphi )}{\rho (\varphi )}}}$

qui s'écrit aussi bien ${\displaystyle dy={\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}{\sin \varphi }^{2}}}{\frac {\cos \varphi d\varphi }{{\cos \varphi }^{2}}}}$

et en posant ${\displaystyle u=\sin \varphi }$

${\displaystyle dy=\left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}-e^{2}\left({\frac {1}{1+eu}}+{\frac {1}{1-eu}}\right)\right){\frac {du}{2}}}$

Un petit calcul montre que ${\displaystyle {\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}=\tan(\varphi /2+\pi /4)^{2}}$ et on arrive au résultat ([eq:Mercator]).

La deuxième étape est une transformation conforme des coordonnées conformes de Mercator généralisées ${\displaystyle (x,y)}$ vers les coordonnées UTM ${\displaystyle (X,Y)}$.

On utilise la propriété qu'une telle transformation conforme s'écrit à l'aide d'une fonction analytique en variables complexes ${\displaystyle Z=f\left(z\right)}$ avec ${\displaystyle Z=Y+iX}$ et ${\displaystyle z=y+ix}$.

Sans perte de généralité, on suppose que le méridien de référence est en ${\displaystyle x=\lambda =0}$. Par convention, les coordonnées UTM sont telles que sur le méridien de référence est en ${\displaystyle X=0}$ et le long de celui-ci ${\displaystyle Y}$ mesure la distance, c'est-à-dire que ${\displaystyle dY=ds=R(\varphi )d\varphi }$. On intègre cette dernière équation pour obtenir ${\displaystyle s(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }R(\psi )d\psi }$ qui est la distance le long de l'arc de méridien entre le point de latitude ${\displaystyle \varphi }$ et l'équateur (c'est intégrale elliptique du deuxième type, mais nous ne l'utiliserons pas). Sur le méridien de référence on a donc :

$${\displaystyle Y(0,y)=s(\varphi (y))=\left(s\circ \varphi \right)\left(y\right)}$$

et l'on déduit par prolongement analytique que :

$${\displaystyle Y(x,y)+iX(x,y)=s\circ \varphi (y+ix)}$$

Dans une carte de Mercator transverse, on s'éloigne peu du méridien de référence ${\displaystyle x=0}$. On peut donc utiliser un développement limité par rapport à la variable ${\displaystyle x=\lambda }$, en ${\displaystyle x=0}$ :

$${\displaystyle Y+iX=\sum _{n=0}^{\infty }i^{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n}\left(s\circ \varphi \right)}{\partial y^{n}}}}$$

en identifiant parties réelles et imaginaires on obtient :

$${\displaystyle X=\sum _{n=1,3,5..}^{\infty }-1^{\frac {n-1}{2}}{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n}\left(s\circ \varphi \right)}{\partial y^{n}}}\qquad Y=\sum _{n=0,2,4..}^{\infty }-1^{n/2}{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n}\left(s\circ \varphi \right)}{\partial y^{n}}}}$$

La première dérivée se calcule facilement en utilisant des relations précédentes :

$${\displaystyle {\frac {\partial s\circ \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial s(\varphi )}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=R(\varphi ){\frac {\rho (\varphi )}{R(\varphi )}}=\rho (\varphi )}$$

La dérivée seconde s'obtient en dérivant la précédente de la même manière.

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s\circ \varphi }{\partial y^{2}}}={\frac {\partial \rho (\varphi )}{\partial \varphi }}{\frac {\rho (\varphi )}{R(\varphi )}}=-\nu (\varphi )\sin \varphi \cos \varphi }$$

En continuant ainsi jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n=6}$, en se limitant au premier ordre en ${\displaystyle e'^{2}={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}}$ et en utilisant les notations précédentes, on obtient finalement :

$${\displaystyle X=a\nu \left(\varphi \right)\left(\ A+(1-T+C){\frac {A^{3}}{6}}+(5-18T+T^{2}+72C-58e'^{2}){\frac {A^{5}}{120}}\right)+\ldots }$$

$${\displaystyle Y=as(\varphi )+a\nu \left(\varphi \right)\tan \varphi \left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+9C+4C^{2}){\frac {A^{4}}{24}}+(61-58T+T^{2}+600C-330e'^{2}){\frac {A^{6}}{720}}\right)+\ldots }$$

Pour finir, les coordonnées UTM ${\displaystyle N,E}$ ne sont pas exactement ${\displaystyle X,Y}$, mais par convention elles sont réduites et décalées :

$${\displaystyle E=500+k_{0}X_{UTM}\quad N=N_{0}+k_{0}Y_{UTM}}$$

avec le facteur de réduction ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$ et ${\displaystyle N_{0}}$ qui a été donné plus haut.

Les projections de Lambert et de Mercator sont conformes, il y a donc une transformation conforme plan sur plan qui passe de Mercator à Lambert et une fonction analytique associée que nous allons justifier : ${\displaystyle Z_{L}=X_{L}+iY_{L}=Ke^{in\left(x(\lambda )+iy(\phi )\right)}}$ où ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle n}$ sont deux paramètres réels et où ${\displaystyle x(\lambda )}$ et ${\displaystyle y(\phi )}$ sont les coordonnées Mercator.

En coordonnées polaires, c'est-à-dire en posant ${\displaystyle X_{L}+iY_{L}=\rho (\phi )^{i\theta (\lambda )}}$, cela donne :

$${\displaystyle \rho (\phi )=Ke^{-ny(\phi )}\qquad \theta (\lambda )=n\lambda }$$

Ainsi les méridiens ${\displaystyle \lambda }$ constant sont des rayons et les parallèles ${\displaystyle \phi }$ constant deviennent les arcs de cercles concentriques qui forment avec les rayons un réseau orthogonal. Cette carte est le développé d'un cône dont le sommet est l'image d'un pôle. Lambert est précisée par l'exigence que les longueurs soient respectées sur deux parallèles sécants dits automécoïques ${\displaystyle \phi _{1}}$ et ${\displaystyle \phi _{2}}$. Sur le terrain ces longueurs sont ${\displaystyle 2\pi a\nu (\phi _{1})\cos \phi _{1}}$ et ${\displaystyle 2\pi a\nu (\phi _{2})\cos \phi _{2}}$ qui doivent être égales à la longueur sur la carte Lambert ${\displaystyle 2\pi n\rho (\phi _{1})}$ et ${\displaystyle 2\pi n\rho (\phi _{2})}$ d'où les deux équations :

$${\displaystyle 2\pi a\nu (\phi _{1})\cos \phi _{1}=2\pi nKe^{-ny(\phi _{1})}\qquad 2\pi a\nu (\phi _{2})\cos \phi _{2}=2\pi nKe^{-ny(\phi _{2})}}$$

Ce qui donne :

$${\displaystyle n={{\ln(\nu (\phi _{1})\cos \phi _{1})-\ln(\nu (\phi _{2})\cos \phi _{2})} \over {y(\phi _{2})-y(\phi _{1})}}}$$

et ${\displaystyle K}$ s'en déduit par substitution dans l'une ou l'autre des égalités précédentes.

À partir des expressions des coordonnées polaires et en prenant l'origine à l'intersection du méridien et du parallèle de référence on retrouve les coordonnées Lambert.

Voici des valeurs intermédiaires à calculer :

Voici les formules de passage donnant les coordonnées géodésiques ${\displaystyle \phi ,\lambda }$ :

$${\displaystyle \phi =\phi _{1}-{\frac {t_{1}(E-500)^{2}}{2!R_{1}N_{1}}}+{\frac {t_{1}(E-500)^{4}}{4!R_{1}N_{1}^{3}}}(5+3t_{1}^{2}+\eta _{1}^{2}-4\eta _{1}^{4}-9\eta _{1}^{2}t_{1}^{2})-{\frac {t_{1}(E-500)^{6}}{6!R_{1}N_{1}^{5}}}(61+90t_{1}^{2}+46\eta _{1}^{2}+45t_{1}^{4}-252t_{1}^{2}\eta _{1}^{2})+{\frac {t_{1}(E-500)^{8}}{8!R_{1}N_{1}^{7}}}(1385+3633t_{1}^{2}+4095t_{1}^{4}+1575t_{1}^{6})}$$

$${\displaystyle \lambda ={\frac {E-500}{\cos \phi N_{1}}}-{\frac {(E-500)^{3}}{3!\cos \phi N_{1}^{3}}}(1+2t_{1}^{2}+\eta _{1}^{2})+{\frac {(E-500)^{5}}{5!\cos \phi N_{1}^{5}}}(5+6\eta _{1}^{2}+28t_{1}^{2}-3\eta _{1}^{2}+8t_{1}^{2}\eta _{1}^{2})-{\frac {(E-500)^{7}}{7!\cos \phi N_{1}^{7}}}(61+662t_{1}^{2}+1320t_{1}^{4}+720t_{1}^{6})}$$

Pour la projection inverse, voici des valeurs intermédiaires à calculer :

${\displaystyle D={\frac {N-N_{0}}{k_{0}}}+\phi _{0}}$

Voici les formules de passage donnant les coordonnées géodésiques ${\displaystyle \phi ,\lambda }$ :