Trajectoire d'une comète

Une conique est définie par trois paramètres :

• foyer ;
• droite directrice ;
• excentricité.

L'équation polaire générale d'une conique est : ${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos(\theta -\theta _{0})}}}$.

L'excentricité définit le type de courbe :

• e = 0 : cercle ;
• 0 < e < 1 : ellipse ;
• e = 1 : parabole ;
• e > 1 : hyperbole.

Fig. 1 - Coniques.

Un type de conique : les ellipses. (On peut appliquer ce qui est décrit dans ce paragraphe aux cercles.) Les ellipses sont donc des coniques dont l'excentricité e ∈ ]0;1[. On distingue pour une ellipse les paramètres suivants (voir la figure 2) :

• le centre C ;
• les deux foyers S et S', symétriques l'un de l'autre par rapport au centre C ;
• le grand axe de longueur 2a (et donc le demi-grand axe de longueur a). C'est un segment de la droite directrice ;
• le petit axe de longueur 2b (et donc le demi-petit axe de longueur b).

Fig. 2 - Ellipse.

Soient e l'excentricité, a le demi-grand axe et b le demi-petit axe, on a les égalités suivantes :

e = ${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$

a = ${\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

b = ${\displaystyle a\times {\sqrt {1-e^{2}}}}$

On peut désormais distinguer deux familles de comètes :

• les comètes dont la trajectoire est circulaire ou elliptique sont cycliques ;
• les comètes dont la trajectoire est parabolique ou hyperbolique, au contraire, ne reviennent jamais, leur trajectoire se prolonge à l'infini (sauf si un autre objet, Soleil excepté, suffisamment massif les dévie).

Nous nous limiterons ici à l'étude des trajectoires elliptiques (voir fig. 3).

Fig. 3 - Trajectoire elliptique d'une comète.

Il existe pour l'étude des trajectoires de comètes trois lois essentielles : les lois de Kepler.

• Première loi de Kepler : dans le référentiel héliocentrique, le Soleil occupe toujours l'un des deux foyers de la trajectoire des objets (planètes et comètes) qui gravitent autour.
• Seconde loi de Kepler : si S est le Soleil et M une position quelconque d'une comète, l'aire balayée par le segment [SM] entre deux positions C et D est égale à l'aire balayée par ce segment entre deux positions E et F si la durée qui sépare les positions C et D est égale à la durée qui sépare les positions E et F (voir Fig. 4).

Fig. 4 - Seconde loi de Kepler.

• Troisième loi de Kepler : soient T la période d'une comète (temps entre deux passages successifs au périhélie) et a le demi-grand axe de la trajectoire de ladite comète : a³ / T² = k avec k constant et k=1 si T est exprimée en années et a en unités astronomiques (1 UA = distance Terre-Soleil). D'où : a = ³√(T²) = T^2/3 si T est exprimée en années et a en UA.

Cette formule ainsi que les formules de l'ellipse permettent de calculer les différents paramètres d'une trajectoire elliptique à partir de très peu d'informations. Chaque point de l'ellipse peut ensuite être déterminé par la formule SM+S'M=2a où S et S' sont les deux foyers de l'ellipse et M le point que l'on cherche à déterminer.