Théorie des enchères

Alors que les mécanismes existent depuis longtemps, la première conceptualisation des enchères est récente. En effet, ce n’est qu’en 1955 que l’Américain Lawrence Friedman (1956) développe la première thèse opérationnelle sur les mécanismes d’enchères [1].

À noter que ce travail fut réalisé dans le cadre de la vente des droits de forages pétroliers dans le Golfe du Mexique à des entreprises privées. Lors de cette vente, il s’agissait d’enchères « au premier prix sous pli fermé » : les offres ne sont pas rendues publiques et c’est l’offre la plus élevée qui remporte le ou les lots.

Dans ses travaux, Friedman cherche à rendre maximale « l’espérance de gain ${\displaystyle E(g)}$ ». En d’autres termes, il cherche à maximiser la différence entre l’évaluation privée ${\displaystyle v}$ d’un enchérisseur et le prix ${\displaystyle b}$ que ce même enchérisseur est prêt à payer, ${\displaystyle (v-b)}$.

C’est à partir de cette différence que Friedman développe cette notion « d’espérance de gain ${\displaystyle E(g)}$ » avec ${\displaystyle E(g)=(v-b)*P(b)}$; ${\displaystyle P(b)}$ représente alors la probabilité que l’enchérisseur remporte l’enchère avec un prix b. Cette probabilité, bien qu’à priori inconnue, est en réalité approximable par des analyses statistiques des enchères passées où il est possible d’analyser les manières d’enchérir des concurrents.

L’approximation de la fonction ${\displaystyle P(b)}$ permet ensuite de déterminer la valeur de ${\displaystyle b}$ telle que ${\displaystyle E(g)=E(p)*P(b)=(v-b)*P(b)}$ soit maximale.

La théorie de Friedman fut largement utilisée, adaptée mais elle possède néanmoins une limite importante. En effet, elle suppose que les concurrents n’établissent pas de stratégie et que leurs futurs comportements, leurs futures façons d’enchérir sont déductibles de leurs actions passées

Comme il l’a été déduit précédemment, la théorie pionnière de Friedman trouve ses limites dans la mesure où les stratégies des différents acteurs ne sont pas prises en compte. Or, il est évident que la conclusion d'une vente aux enchères dépend du comportement des différents individus et des jeux d'influence exercé tout au long de l'action. Comment prévoir, anticiper, déjouer, analyser ces comportements stratégiques qui, à première vue, semblent être peu intuitifs? C’est à ces nombreuses questions que tente de répondre la théorie des jeux : cette dernière « permet de formaliser le mécanisme des enchères, et même de prendre l'intuition en défaut » (Jacques Robert).

C’est en 1961 que William Vickrey introduit pour la première fois la théorie des jeux dans les mécanismes d’enchères. Son approche est nettement supérieure à celle proposée par Friedman. En effet, lorsqu’un enchérisseur décide de sa mise, il s’interroge sur le comportement de ses concurrents et chaque enchérisseur en fait de même. L’équilibre désigne alors le résultat de la confrontation de stratégies de mises qui constituent, pour chaque enchérisseur, la meilleure stratégie compte tenu de leurs anticipations sur la façon de miser et sur les évaluations privées de leurs concurrents. On reconnaît là le concept d’ « équilibre de Nash bayésien » (voir l'article concept de solution), équilibre permettant « d’émettre une conjecture sur la façon dont les enchérisseurs rationnels doivent miser lors d’une enchère » (Jean-Jacques Laffont).

Dans ce cadre, William Vickrey a analysé les propriétés de l’enchère au second prix dite « enchère de Vickrey » (c’est-à-dire l’enchère dans laquelle le « gagnant », émetteur de l’offre la plus élevée, paye le prix correspondant à la seconde meilleure offre). Le résultat de son travail est célèbre et a été repris et discuté par nombre de ses successeurs. Selon William Vickrey : quoi que fassent les autres « joueurs », un enchérisseur a toujours intérêt à émettre une offre d’un montant égal à son évaluation réelle de l’objet. En effet, offrir un prix inférieur à sa disposition à payer diminue les chances qu’a l’enchérisseur de remporter les enchères sans accroître le gain qu’il réaliserait en cas de victoire (puisque le prix payé est indépendant du prix annoncé). Inversement, annoncer un prix supérieur à son évaluation privée accroît la probabilité de victoire mais expose l’enchérisseur à payer plus qu’il n’est disposé à le faire (et donc à « acheter à perte »). Ainsi, « dire la vérité » est une stratégie strictement dominante, c’est-à-dire une stratégie qui offre à l’enchérisseur des gains supérieurs aux autres stratégies, quel que soit le comportement adopté par les autres « joueurs ».

L’apport de la théorie des jeux dans les mécanismes d’enchères a donné naissance à un des théorèmes les plus importants de la théorie des enchères : le théorème d’équivalence des revenus. Dans la lignée des travaux de William Vickrey, Myerson et Riley-Samuelson ont démontré en 1981 que les quatre enchères classiques définies ci-dessus sont équivalentes pour le vendeur et souvent optimales aussi bien pour les valeurs communes que pour les valeurs privées. Autrement dit, le vendeur n’a pas d’intérêt à choisir un mécanisme d’enchère plutôt qu’un autre. Cette équivalence des revenus n’est plausible que sous certaines hypothèses :

• Les joueurs sont neutres face au risque : ils accordent la même valeur au pari et à ses attentes.
• Les évaluations privées de chaque joueur sont tirées de la même distribution de probabilité : symétrie des joueurs.
• Les acheteurs disposent de la même information.
• Le prix d'adjudication, autrement dit la valeur de marché du bien, ne dépend que des prix d'offre individuelle.

Sous ces mêmes conditions d’information parfaite, la théorie des jeux démontre, également que :

• L'enchère hollandaise et l'enchère scellée au premier prix sont équivalentes du point de vue informationnel.
• L'enchère anglaise et l'enchère scellée au second prix sont également équivalentes du point de vue informationnel.
• Dans ce modèle totalement symétrique, les quatre procédures d'enchères assurent une allocation Pareto-optimale : le bien est attribué à celui qui en fera l'utilisation la plus efficace et qui le valorise le plus.
• Le revenu espéré du vendeur est une fonction croissante du nombre d'enchérisseurs.
• La rente du gagnant de l'enchère (c'est-à-dire la différence entre le prix d'offre le plus élevé et le second meilleur prix d'offre) est une fonction croissante de la variance des distributions d'évaluation.

Cependant, force est de constater que ces hypothèses « d’information parfaite » sont rarement transposables à la réalité ; cela implique que le choix d’une procédure optimale d’enchères est loin d’être un « faux problème » ; démonstration :

• L’aversion au risque : lors d’enchères au second prix et ascendantes, la stratégie optimale des joueurs reste inchangée (la valorisation réelle privée du bien). En ce qui concerne le premier prix, le joueur averse au risque joue plus agressivement. Il est donc profitable pour un vendeur neutre de procéder à une enchère au premier prix s’il fait face à des joueurs averses au risque. Ceci veut dire que les enchères de premier prix mènent à des prix plus élevés quand les joueurs (les acheteurs) sont averses au risque.
• La corrélation : Dans le cas où l’information privée des joueurs n’est pas indépendante des informations des autres joueurs, les enchères ascendantes (Myerson, 1981) génèrent des prix anticipés plus importants que les enchères fermées au second prix. Ces dernières, à leur tour, génèrent des prix anticipés plus élevés que les enchères fermées au premier prix. Aussi, si le vendeur dispose d’une information, l’optimal serait de la révéler aux joueurs pour augmenter le prix anticipé (en reliant la valeur de l’information au prix anticipé).
• La « malédiction du vainqueur » : en information incomplète et en valeur publique commune (non privée), le joueur sait qu’il est le gagnant quand il a le plus haut signal. Quand il ne peut prendre en compte les mauvaises nouvelles des autres signaux, le gagnant est susceptible de payer plus que l’objet en question ne vaut. Autrement dit, si l’on estime que la moyenne des estimations des joueurs reflète la vraie valeur de l’objet, alors le gagnant l’a sûrement surestimé puisqu’il a payé plus. En manière générale, la malédiction du vainqueur devient plus sévère lorsque le nombre des joueurs augmente. Pour éviter cette situation, les parties prenantes de l’enchère revoient leurs signaux à la baisse. Les exemples les plus connus de ce phénomène sont ceux de l’accordement des droits de forage « offshore » où il est difficile d’estimer la quantité des réserves de pétrole existantes. Il existe également un exemple plus récent illustrant ce concept de malédiction du vainqueur : les droits télévisuels du football français en 2004. Véritable feuilleton à rebondissement, TF1 a poussé Canal+ à débourser plus de 600 millions d’euros pour trois ans de retransmission. En véritable joueur de poker, le président de l’époque de TF1 Patrick Le Lay envoya des signaux démontrant son grand intérêt pour ces droits de retransmission. Lors du dépouillement des offres, TF1 avait « seulement » proposé 326 millions d’euros, offre que l’on pouvait considérer comme un « forfait de la part de Patrick Le Lay. Son objectif était vraisemblablement de faire payer un montant astronomique à Canal+ dans le but de le mettre dans une position de « malédiction du vainqueur » et ainsi le déstabiliser. Le choix du type d’enchères réalisé par la ligue de football professionnel (LFP), ne fut pas anodin : des enchères scellées au premier prix… De nombreux articles sont parus à ce sujet. Notons plus particulièrement celui de L’expansion du 21 décembre 2004.
• Les asymétries : les valeurs privées (signaux) des joueurs ne sont pas forcément tirées d’une distribution commune et il existe normalement des asymétries d’information entre joueurs. Souvent ces derniers n’attribuent pas la même valeur à l’objet. (Voir à ce sujet les pages 17 à 20 de l’article de Klemperer «Auction Theory: A Guide to the Literature »)
• La collusion est un phénomène qui distord le prix optimal et où quelques joueurs se mettent d’accord pour ne pas se dépasser et se surenchérir («Auction Theory: A Guide to the Literature », p. 25-26).
• Le coût d’entrée à une enchère et le nombre des joueurs aussi affectent le prix final de l’objet aux enchères («Auction Theory: A Guide to the Literature », p. 20-24).

L’apport de la théorie des jeux aux mécanismes d’enchères est donc indéniable et permet, dans une certaine mesure, de prévoir, d’anticiper, de déterminer la procédure d’enchères la plus pertinente : dans le cas d'un vendeur, il s'agira de la procédure maximisant son revenu espéré ; dans le cas d'un État soucieux du « bien-être social », il s'agira en général de la procédure qui conduira à l'attribution du bien à l'enchérisseur qui y accorde la plus grande valeur… Dans le tableau ci-dessous, sont résumés, grâce à la théorie des jeux, les avantages et les inconvénients des différents mécanismes d’enchères selon que les « quatre hypothèses d’information parfaite » soient respectées ou non :

Source : adaptation de « Tarification et valorisation du spectre : la question des enchères », Claire Ancelin, Ministère Français de l’Économie, des Finances et de l’Industrie.

• Enchère
• Enchère de Vickrey

• (en)[PDF]Paul Klemperer, « Auction Theory: A Guide to the Literature », revue de la littérature.
• [PDF] Nicolas Curien, « Enchères et télécommunications - Échecs et leçons », Dalloz, Presses de Sciences Po, 2004 (consulté le 20 octobre 2007), repris dans Marie-Anne Frison-Roche, Règles et pouvoirs dans les systèmes de régulation, vol. 2, Paris, Dalloz, Presses de Sciences Po, coll. « Thèmes et commentaires », 24 juin 2004 (ISBN 978-2-247-05697-2, LCCN 2004457219, présentation en ligne, lire en ligne), Régulation et procédures d’enchères, chap. 2
  La présentation en ligne fournit des liens vers le texte intégral téléchargeable
• Jacques Robert, « Qui dit mieux ? », Université de Montréal (consulté le 20 octobre 2007)
• Robert Marks, « Strategic Game Theory for managers », Australian Graduate School of Management, 2007 (consulté le 20 octobre 2007), Cours de niveau MBA de l'Australian Graduate School of Management consacré à la théorie des jeux.
• [PDF] Jean Magnan de Bornier, « Les mécanismes d’enchère », Université Aix-Marseille III, 2006 (consulté le 20 octobre 2007)
• [PDF] Claire Ancelin, « Tarification et valorisation du spectre : la question des enchères », Ministère Français de l’Economie, des Finances et de l’Industrie. (consulté le 20 octobre 2007)