Théorie de Nevanlinna

Pour ${\displaystyle r>0}$ et ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$, on indique par ${\displaystyle n(r,a,f)}$ le nombre de solutions de ${\displaystyle f(z)=a}$, dans le disque fermé de centre 0 et de rayon ${\displaystyle r}$, comptées avec leur multiplicité. Si la fonction ${\displaystyle f}$ est entière, cette fonction de comptage croit à peu près comme ${\displaystyle \log M(r)}$, où ${\displaystyle M(r)=max_{|z|\leq r}\mid f(z)\mid }$, sauf peut-être pour une valeur de ${\displaystyle a}$. Cette valeur exceptionnelle est liée au théorème de Picard, établissant qu’une fonction entière non constante doit prendre toutes les valeurs, sauf peut-être une : en effet, si ${\displaystyle f(z)=a}$ n'a pas de solutions, ${\displaystyle n(r,a,f)=0}$ pour tout r et ne croit donc pas[2].

Dans le cas d’une fonction méromorphe, on remplace la fonction de comptage par la fonction ${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)}$ :

${\displaystyle N(r,a,f)=\int _{0}^{r}{\frac {n(t,a,f)-n(0,a,f)}{t}}{\text{d}}t+n(0,a,f)\log r.}$

Cette fonction ${\displaystyle N(r,a,f)}$ a l'avantage d'être une fonction continue ; elle est croissante (et convexe en ${\displaystyle \log r}$)[3]. Elle quantifie le nombre moyen de points où la fonction ${\displaystyle f}$ prend la valeur ${\displaystyle a}$ dans le disque de centre 0 et de rayon ${\displaystyle r}$[3].

On pose aussi ${\displaystyle \displaystyle N(r,f)=N(r,\infty ,f)}$ (relative aux pôles de la fonction dans le disque de centre 0 et de rayon ${\displaystyle r}$)[4].

On introduit aussi une fonction[4] dite osculatrice :

${\displaystyle m(r,f)=m(r,\infty ,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}|f(re^{i\theta })|d\theta ,}$ où ${\displaystyle \displaystyle \log ^{+}x=\max\{0,\log x\}}$.

La caractéristique de Nevanlinna ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ est ensuite définie par[5] :

${\displaystyle \displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).}$

Cette caractéristique tend vers l’infini quand ${\displaystyle \displaystyle r\to \infty }$ (si la fonction ${\displaystyle \displaystyle f}$ n’est pas constante).

On montre que si ${\displaystyle f}$ est une fonction entière, et ${\displaystyle \displaystyle 1<r<R}$, alors ${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\leq {\dfrac {R+r}{R-r}}T(R,f).}$

Ceci justifie d’utiliser ${\displaystyle T(r,f)}$ à la place de ${\displaystyle \log M(r,f)}$ comme mesure de croissance de la fonction ${\displaystyle f}$ quand celle-ci n’est plus nécessairement entière, mais méromorphe.

L’ordre ${\displaystyle \displaystyle \rho (f)}$ d’une fonction méromorphe ${\displaystyle \displaystyle f}$ est défini par

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log T(r,f)}{\log r}}.}$

Pour tout nombre complexe ${\displaystyle a}$, on définit ${\displaystyle m(r,a,f)=m(r,{\frac {1}{f-a}})}$. Elle rend compte de la proximité à ${\displaystyle a}$ des valeurs de la fonction ${\displaystyle f}$ sur le cercle de centre 0 et rayon ${\displaystyle r}$[3].

Le premier théorème fondamental affirme que pour tout ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),}$

où le terme borné ${\displaystyle O(1)}$ peut dépendre de ${\displaystyle f}$ et de ${\displaystyle a}$. Pour une fonction ${\displaystyle f}$ méromorphe non constante, ${\displaystyle T(f,r)}$ tend vers l'infini avec ${\displaystyle r}$, donc le premier théorème fondamental dit que la somme ${\displaystyle N(r,a,f)+m(r,a,f)}$ tend vers l'infini à un taux indépendant de ${\displaystyle a}$.

Ce premier théorème est une conséquence de la formule de Jensen.

Le deuxième théorème fondamental « affirme qu'une fonction méromorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ne peut pas rester proche sur le cercle de rayon ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle q>2}$ valeurs distinctes de ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ comparativement à la caractéristique de Nevanlinna ${\displaystyle T(r,f)}$ lorsque ${\displaystyle r}$ tend vers l'infini[6] ».

Pour ce deuxième théorème[7], on introduit :

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).}$

Cette quantité, qui compte les valeurs atteintes avec une multiplicité strictement plus grande que 1, est positive ou nulle.

Pour ${\displaystyle \displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{q}\in {\overline {\mathbb {C} }}}$, distincts, le deuxième théorème fondamental établit que :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f),}$

où ${\displaystyle S(r,f)}$ est un terme d'erreur, petit par rapport à la caractéristique ${\displaystyle T(r,f)}$. Plus précisément, il existe un ensemble ${\displaystyle E\subset [1,\infty )}$ de longueur finie, tel que

${\displaystyle \displaystyle S(r,f)=O(\log T(r,f))+O(\log r)}$ quand ${\displaystyle \displaystyle r}$ tend vers l'infini, ${\displaystyle r\notin E}$. De meilleures estimations du terme d'erreur existent, mais il a été démontré qu'il n'est pas possible d'éliminer complètement l'ensemble exceptionnel ${\displaystyle E}$.

Une autre forme du deuxième théorème est :

${\displaystyle (q-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{q}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),}$

où ${\displaystyle {\overline {N}}}$ est identique à ${\displaystyle N}$, mais en ne comptant pas la multiplicité.

Le deuxième théorème donne une borne supérieure de la caractéristique en fonction de ${\displaystyle N(r,a)}$. En particulier, en prenant ${\displaystyle q=3}$ et ${\displaystyle a_{3}=\infty }$, le théorème montre qu'une fonction entière transcendante prend chaque valeur une infinité de fois, avec au plus deux exceptions, ce qui donne une des variantes du théorème de Picard.

La déficience d'une fonction méromorphe en ${\displaystyle a}$ est définie par la formule :

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.}$

Par le premier théorème fondamental, ${\displaystyle 0\leq \delta (a,f)\leq 1}$, si ${\displaystyle T(r,f)}$ tend vers l'infini (c'est vrai en particulier pour toutes les fonctions non constantes méromorphes sur le plan complexe). Les points ${\displaystyle a}$ pour lesquels la déficience ${\displaystyle \delta (a,f)}$ n'est pas nulle s'appellent les valeurs de déficience.

Selon le deuxième théorème fondamental, l'ensemble de ces valeurs de déficience est au plus dénombrable et de plus ${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}$ la somme étant prise sur toutes les valeurs de déficience[8] - [9].

Le problème inverse de la théorie de Nevanlinna consiste à construire des fonctions méromorphes avec des déficiences déterminées à des points donnés. Il a été résolu par David Drasin en 1976[10] - [8]. Il existe de nombreux résultats concernant les valeurs de déficience[11]. Par exemple, Allen Weitsman[12] a montré que pour une fonction méromorphe ${\displaystyle f}$ d'ordre fini, ${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)^{1/3}<\infty }$.

Un autre corollaire du deuxième théorème fondamental est l'inégalité :

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}$

qui généralise le fait qu'une fonction rationnelle de degré ${\displaystyle d}$ a ${\displaystyle 2d-2}$ (donc strictement moins que ${\displaystyle 2d}$) points critiques.

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• Émile Borel, Leçons sur les fonctions entières, Paris, Gauthier-Villars, 1900.
• Émile Borel, Leçons sur les fonctions méromorphes, Paris, Gauthier-Villars, 1903.
• Otto Blumenthal, Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre fini, Paris, Gauthier-Villars, 1910.
• (de) Rolf Nevanlinna, « Zur Theorie der meromorphen Funktionen », Acta Mathematica, vol. 46,‎ 1925, p. 1–99.
• (en) Walter Hayman, Lectures on Meromorphic Functions, Tata Institute of Fundamental Research, coll. « Lecture Notes of the Tata Institute » (n^o 17), 1959 (lire en ligne).
• (en) Walter Hayman, Meromorphic functions, Oxford, Oxford University Press, 1964.
• (en) James K. Langley, « The Distribution of Finite Values of Meromorphic Functions with Few Poles », Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4^e série, vol. 12,‎ 1985, p. 91-103 (lire en ligne).
• (en) Walter Hayman, « Nevanlinna theory 1945–1995 », dans Ilpo Laine et Olli Martio (eds.), XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium, Berlin, New York, Walter de Gruyter and Co, 1996.
• (en) Min Ru, Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation, River Edge, NJ, World Scientific Publishing, 2001.
• (en) V.P. Petrenko, « Value-distribution theory », dans Michiel Hazewinkel, ed., Encyclopedia of Mathematics, Springer et Kluwer, 2001 (lire en ligne).
• (en) Alexandre Eremenko et James Langley, « Meromorphic functions of one complex variable : a survey », dans Anatolii Goldberg et Iossif Vladimirovich Ostrovskii, Distribution of values of meromorphic functions, American Mathematical Society, 2008.
• (en) Anatolii Goldberg et Iossif Vladimirovich Ostrovskii, Distribution of values of meromorphic functions, American Mathematical Society, 2008.
• Pierre Villemot, Lemmes de zéros et distribution des valeurs des fonctions méromorphes, coll. « Thèse de mathématiques de l'université Grenoble Alpes », 2018 (lire en ligne).