Théorème du point fixe de Leray-Schauder

Ce théorème fut d'abord démontré en 1930 par Schauder dans des cas particuliers, comme celui des espaces vectoriels topologiques métrisables complets[1]. Il conjectura le cas général dans le Livre écossais. En 1934, Tychonoff démontra le théorème dans le cas où C est compact et E est localement convexe[2]. Cette version est connue sous le nom de théorème du point fixe de Tychonoff. B. V. Singbal généralisa ce résultat au cas où C n'est pas compact[3]. Le cas général (sans l'hypothèse de convexité locale) fut finalement démontré par Robert Cauty en 2001[4].

En 1951, James Dugundji[5] remarqua, comme corollaire de son théorème de prolongement, que la généralisation « naïve » en dimension infinie du théorème du point fixe de Brouwer est fausse : dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, il existe des applications continues sans point fixe de la boule unité fermée (non compacte) dans elle-même.

Une conséquence, appelée le théorème du point fixe de Schaefer, est particulièrement utile pour prouver l'existence de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Ce théorème de Schaefer est en fait un cas particulier d'un théorème de plus grande portée découvert auparavant par Schauder et Leray[6]. Il s'énonce ainsi[7] :

Théorème — Soit T une application continue et compacte[8] d'un espace localement convexe séparé E dans lui-même, telle que l'ensemble${\displaystyle \{x\in E\mid \exists \lambda \in \left]0,1\right[,~x=\lambda T(x)\}}$ soit borné. Alors pour tout ${\displaystyle \lambda \in \left[0,1\right]}$, il existe ${\displaystyle x\in E}$ tel que ${\displaystyle x=\lambda T(x)}$.