Théorème du papillon

Ce théorème est une question posée en 1803 par le mathématicien écossais William Wallace. Trois solutions ont été donnée en 1804 et 1805 [1]. Actuellement, on dispose de plus de 17 démonstrations différentes [2].

Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.

On nomme ${\displaystyle X_{1}}$ le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme ${\displaystyle X_{2}}$ pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, ${\displaystyle Y_{1}}$ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et ${\displaystyle Y_{2}}$ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.

On remarque alors que les triangles ${\displaystyle MXX_{1}}$ et ${\displaystyle MYY_{1}}$ sont semblables car ${\displaystyle {\widehat {MX_{1}X}}={\widehat {MY_{1}Y}}}$ (ce sont des angles droits) et ${\displaystyle {\widehat {X_{1}MX}}={\widehat {Y_{1}MY}}}$ car ils sont opposés par le sommet ; d'où : ${\displaystyle {\frac {MX}{XX_{1}}}={\frac {MY}{YY_{1}}}}$.

De même ${\displaystyle MXX_{2}}$ est semblable à ${\displaystyle MYY_{2}}$ et ${\displaystyle {\frac {MX}{XX_{2}}}={\frac {MY}{YY_{2}}}}$.

On procède de la même manière pour les triangles semblables ${\displaystyle AXX_{1}}$ et ${\displaystyle CYY_{2}}$ sachant que ${\displaystyle {\widehat {XAX_{1}}}={\widehat {YCY_{2}}}}$ car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : ${\displaystyle {\frac {AX}{XX_{1}}}={\frac {CY}{YY_{2}}}}$.

De même ${\displaystyle DXX_{2}}$ est semblable à ${\displaystyle BYY_{1}}$ et ${\displaystyle {\frac {DX}{XX_{2}}}={\frac {BY}{YY_{1}}}}$.

On a donc :

${\displaystyle \left({\frac {MX}{MY}}\right)^{2}={\frac {XX_{1}}{YY_{1}}}\cdot {\frac {XX_{2}}{YY_{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {AX.DX}{CY.BY}}}$

${\displaystyle ={\frac {PX.QX}{PY.QY}}}$ (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)

${\displaystyle ={\frac {(PM-MX)(QM+MX)}{(PM+MY)(QM-MY)}}}$

${\displaystyle ={\frac {PM^{2}-MX^{2}}{PM^{2}-MY^{2}}}}$ car ${\displaystyle PM=QM}$

Ainsi ${\displaystyle MX^{2}=MY^{2}}$, ce sont des longueurs donc ${\displaystyle MX=MY}$.

M est bien le milieu du segment ${\displaystyle [XY]}$.

• Une démonstration du théorème avec une animation Flash sur le site de Thérèse Eveilleau
• (en) 17 démonstrations différentes de ce théorème sur cut-the-knot