Théorème des trois séries de Kolmogorov

Théorème des trois séries de Kolmogorov — Soit ${\displaystyle \ \left(X_{n}\right)_{n\geq 0}\ }$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La série ${\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ X_{n}\ }$ est presque sûrement convergente si et seulement si il existe un réel ${\displaystyle \ c>0\ }$ tel que les trois conditions suivantes soient remplies simultanément :

• ${\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ \mathbb {P} \left(|X_{n}|\geq c\right)<+\infty \,;}$
• ${\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ {\text{Var}}\left(X_{n}\ 1_{|X_{n}|\leq c}\right)<+\infty \,;}$
• ${\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ \mathbb {E} \left[X_{n}\ 1_{|X_{n}|\leq c}\right]\quad {\text{converge.}}}$