Théorème des idéaux principaux de Krull

On fixe un anneau commutatif unitaire A. Si P est un idéal premier, on définit sa hauteur, notée ht(P), comme étant la borne supérieure des entiers naturels n tels qu'il existe une chaîne strictement croissante de n+1 idéaux premiers contenus dans P:

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq ...\subsetneq P_{n}=P.}$

Pour tout idéal propre I, sa hauteur ht(I) est la plus petite des hauteurs des idéaux premiers qui le contiennent. Par exemple, ht(I)=0 si et seulement si I est contenu dans un idéal premier minimal.

La notion de hauteur est étroitement liée à celle de la dimension (ou plus exactement celle de la codimension):

• La dimension de A est la borne supérieure des hauteurs des idéaux maximaux de A. En particulier, si A est un anneau local, alors sa dimension est égale à la hauteur de son idéal maximal.
• Si I est un idéal propre, alors dim(A/I)+ht(I) est inférieur ou égal à dim(A).

Une des preuves utilise le théorème d'intersection de Krull. Une forme plus générale du théorème est la suivante:

• Si A est un anneau local noethérien, alors dim(A) est finie, majorée par le nombre minimal de générateurs de son idéal maximal.

• Sous la même hypothèse, si a est non diviseur de zéro et non inversible, alors dim(A/aA)=dim(A)-1.

• Si A est une algèbre de type fini sur un corps k et si a est non diviseur de zéro et non inversible, alors dim(A/aA)=dim(A)-1.

• Si A est une algèbre intègre de type fini sur un corps k et si P est un idéal premier, alors dim(A/P)+ht(P)=dim(A) (on dit que A est caténaire).

• (en) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Reading (Mass.) etc., Addison-Wesley, 1969, 129 p. (ISBN 0-201-00361-9), chap. 11
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chap. 8
• (en) H. Matsumura, Commutative Algebra, chap. 5