Théorème de récursion de Kleene

Un des théorèmes de récursion s'énonce comme suit :

un programme a accès à sa propre description (i.e. à son propre code source).

Un théorème de point fixe peut alors être présenté comme corollaire du théorème de récursion par Sipser[1] :

Soit t est une fonction calculable. Il existe alors une machine de Turing F telle que t(<F>) décrit une machine de Turing équivalente à F.

En effet, le théorème de récursion ci-dessus permet de donner une description de F :

F(w)
      Obtenir sa description propre description <F> (grâce au théorème de récursion)
      Calculer t(<F>)
      Simuler la machine t(<F>) sur w

Par construction, F et t(<F>) sont des machines équivalentes.

Si ${\displaystyle \varphi {}}$ est une énumération acceptable des fonctions récursives et ${\displaystyle f}$ une fonction partielle récursive alors il existe un indice ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$ tel que

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {e} }(x)=f(\mathbf {e} ,x)}$.

• Pour un langage de programmation

Si ${\displaystyle \varphi {}}$ est un langage de programmation acceptable et ${\displaystyle f}$ une fonction semi-calculable alors il existe un programme ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$ tel que pour tout ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {e} }(x)=f(\mathbf {e} ,x)}$.

Ce théorème peut être décliné sous différentes formes dont l'une des plus célèbres est due à H. Rogers. On considère un langage de programmation acceptable ${\displaystyle \varphi }$.

• Forme de Rogers

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction calculable alors il existe un programme ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$ tel que pour tout ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {e} }(x)=\varphi _{f(\mathbf {e} )}(x)}$.

• Paramétrée

Il existe une fonction calculable ${\displaystyle n}$ telle que pour tout ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle \varphi _{n(y)}(x)=\varphi _{\varphi _{y}(n(y))}(x)}$.

• Récursion double

Si ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont des fonctions calculables, alors il existe deux programmes ${\displaystyle {\mathbf {e_{1}} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {e_{2}} }}$ tels que pour tout ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {e_{1}} }(x)=\varphi _{f(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} )}(x)}$

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {e_{2}} }(x)=\varphi _{g(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} )}(x)}$.

On doit le théorème de récursion double à Raymond Smullyan.

On dit qu'un programme est minimal s'il n'existe pas de programmes équivalents avec un code source plus court). Savoir si un programme est minimal n'est pas récursivement énumérable.

Nous le démontrons par l'absurde. Supposons qu'il existe un programme E qui énumère les programmes minimaux (un tel programme s'appelle un énumérateur). On construit alors le programme C suivant :

C(w)
      Obtenir sa propre description <C> (grâce au théorème de récursion)
      Lancer l'énumérateur E jusqu'à ce qu'il écrive une description <D> d'une machine D, strictement plus longue que <C>
      Simuler D sur w

Il y a un nombre infini de programmes minimaux. Donc au bout d'un moment, E va écrire une description <D> plus longue que <C>. Mais C a le même comportement que D, donc D n'est pas minimal. Contradiction.

Ce théorème est reconnu comme le meilleur outil permettant de produire contre-exemples et cas pathologiques. En particulier, il fournit l'existence de programmes calculant leurs propres codes. En prenant ${\displaystyle f}$ la première projection, ${\displaystyle f(y,x)=y}$ et en appliquant le théorème on obtient un programme ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$ tel que pour tout ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {e} }(x)=\mathbf {e} }$.

L'exécution du programme ${\displaystyle \mathbf {e} }$ produit son propre code. De tels programmes sont communément appelés quines.