Théorème de préparation de Malgrange

Supposons que f soit un germe à l'origine de fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$ dépendant des variables ${\displaystyle ,t\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ près de l'origine, et supposons l'existence d'un entier k tel que : ${\displaystyle f(0,0)=0,{\partial f \over \partial t}(0,0)=0,\dots ,{\partial ^{k-1}f \over \partial t^{k-1}}(0,0)=0,{\partial ^{k}f \over \partial t^{k}}(0,0)\neq 0.}$

Le théorème affirme que la fonction f s'écrit alors sous la forme : ${\displaystyle f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)}$ où les germes de fonction c et a sont ${\displaystyle C^{\infty }\ }$et c est non nul à l'origine.

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• (en) Martin Golubitsky et Victor Guillemin, Stable Mappings and Their Singularities, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in mathematics 14 », 1973 (ISBN 0-387-90073-X)
• Bernard Malgrange, Le théorème de préparation en géométrie différentiable I–IV, vol. 11–14, Secrétariat mathématique, Paris, coll. « Séminaire Henri Cartan, 1962/63 », 1962–1963
• Bernard Malgrange, The preparation theorem for differentiable functions. 1964 Differential Analysis, Bombay Colloq., Oxford Univ. Press, 1964 (MR 0182695)
• Bernard Malgrange, Ideals of differentiable functions, vol. 3, London, Oxford University Press, coll. « Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics », 1967, 106 p. (MR 0212575)
• (en) Jean Martinet, Singularities of Smooth Functions and Maps, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series », 1982 (ISBN 9780521233989)