Théorème de l'image ouverte

Soit U un ouvert connexe[1] du plan complexe C et f : U → C une fonction holomorphe non constante ; alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de U vers des ouverts de C.

Les points bleus représentent les zéros de g(z). Les pics noirs sont les pôles. La ligne pointillée est la frontière de l'ouvert U (remarquez que tous les pôles sont extérieurs à U). Le petit cercle rouge est la frontière du disque B mentionné par la démonstration.

Nous voulons montrer que tout point de f(U) est intérieur, autrement dit est contenu dans un disque inclus dans f(U). Soit w₀ = f(z₀) un point arbitraire de f(U) (avec z₀ dans U). U étant ouvert, il existe d > 0 tel que B, le disque fermé de centre z₀ et de rayon d, soit inclus dans U. f étant non constante sur U et U étant connexe, f est non constante sur B[2]. La fonction g(z) = f(z) – w₀ est analytique non constante, et admet z₀ comme racine ; d'après le principe des zéros isolés, nous pouvons donc choisir d pour que g n'ait pas d'autres racines dans B. Soit alors e le minimum de |g(z)| pour z sur le cercle frontière de B[3], et soit D le disque de centre w₀ et de rayon e. D'après le théorème de Rouché, la fonction g(z) = f(z) – w₀ a le même nombre de racines (comptées avec multiplicités) dans B que f(z) – w pour tout w à une distance strictement inférieure à e de w₀. Ainsi, pour chaque w dans D, il existe au moins un z₁ dans B tel que f(z₁) = w. Le disque D est donc contenu dans f(B), sous-ensemble de f(U) ; w₀ est donc un point intérieur de f(U).

Il est également possible[4] de démontrer ce théorème sans théorie de l'intégration, à partir du théorème du point fixe de Brouwer, ou plus simplement encore à partir du théorème du point fixe de Banach/Picard.

Ce théorème est un exemple des importantes différences entre les applications holomorphes et les fonctions R-différentiables de C vers C : la fonction de variable complexe z ↦ z z est R-différentiable et de classe C^∞, mais n'est clairement pas ouverte. Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R puisque son image est l'intervalle fermé [0, +∞[. De même, il n'y a pas d'équivalent pour les fonctions de variable réelle.

Le théorème de l'image ouverte reste valable pour les fonctions holomorphes à plusieurs variables : on remplace simplement dans l'énoncé U par un ouvert connexe de Cⁿ. La preuve[5] consiste à se ramener au cas d'une variable en traçant la droite (complexe) passant par deux points ayant des valeurs différentes par f.

• Le théorème fondamental de l'algèbre se déduit directement du théorème de l'application ouverte[4] : d'après le théorème de l'application ouverte, l'image ${\displaystyle P(\mathbb {C} )}$ de tout polynôme ${\displaystyle P}$ non constant est un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ; il ne reste plus qu'à montrer que ${\displaystyle P(\mathbb {C} )}$ est un fermé de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, et la connexité de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ permettra de conclure que ${\displaystyle P(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }$, et donc que ${\displaystyle 0\in P(\mathbb {C} )}$.

• Le principe du maximum des fonctions holomorphes peut se déduire aisément du théorème de l'application ouverte. En effet, si f : U → C est une application holomorphe non constante sur un ouvert connexe U de Cⁿ, alors pour tout point z₀ de U, l'image par f de tout voisinage ouvert de z₀ est un voisinage ouvert W de f(z₀) dans C. De par la topologie de C, |f(z₀)| n'est pas un maximum de l'ensemble des |w| pour w parcourant W. Donc |f(z₀)| n'est pas un maximum local. Le même raisonnement tient pour Re(f(z)) à la place de |f(z)|.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Open mapping theorem (complex analysis) » (voir la liste des auteurs).
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]