Théorème de composition des limites

Le théorème ci-dessous est souvent énoncé en se restreignant au cas où les ensembles ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des intervalles. Dans ce cas, dire que ${\displaystyle a}$ est adhérent à ${\displaystyle A}$ signifie simplement que ${\displaystyle A}$ est non vide et que ${\displaystyle a}$ est l'une de ses deux extrémités ou l'un de ses éléments.

Soient ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux parties de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f:A\to B}$ et ${\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }$ deux applications, et ${\displaystyle a,b,c}$ trois points de la droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$, avec ${\displaystyle a}$ adhérent à ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c.}$

En particulier : si ${\displaystyle (y_{n})}$ est une suite à valeurs dans ${\displaystyle B}$ et de limite ${\displaystyle b}$ et si ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=c}$, alors la suite ${\displaystyle (g(y_{n}))}$ admet ${\displaystyle c}$ pour limite.

Plus généralement, on a les mêmes implications lorsque ${\displaystyle a,b,c}$ appartiennent respectivement à trois espaces topologiques ${\displaystyle X,Y,Z}$ avec ${\displaystyle A\subset X}$, ${\displaystyle B\subset Y}$, ${\displaystyle f:A\to B}$, ${\displaystyle g:B\to Z}$ et ${\displaystyle a\in {\overline {A}}}$.

Ce théorème est notamment utilisé pour lever les formes indéterminées de certaines fonctions par changement de variable.

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Frédéric Denizet, Analyse - MPSI, Nathan, coll. « Classe prépa », 2008 (lire en ligne), p. 203