Théorème de Witt

On considère un corps K de caractéristique différente de 2. Un espace quadratique (V,q) est un espace vectoriel sur K muni d'une forme quadratique. Les deux théorèmes fondamentaux de Witt s'énoncent

Pour énoncer le théorème de décomposition qui en résulte, on rappelle d'abord brièvement le vocabulaire des sous-espaces remarquables d'un espace quadratique (V,q). Le radical (ou noyau) de q est l'orthogonal de V. Un sous-espace est dit anisotrope si q ne s'y annule qu'en 0. En sens inverse, on considère le modèle le plus simple d'espace isotrope. Il s'agit du plan hyperbolique, c'est-à-dire un sous-espace de dimension 2 sur lequel la forme quadratique induite admet, dans une certaine base, une écriture de la forme ${\displaystyle q_{P}(x,y)=xy}$ (ou, dans une autre base ${\displaystyle q_{P}(X,Y)={\frac {1}{2}}(X^{2}-Y^{2})}$).

Une première étape couramment employée est de constater que tout supplémentaire du radical est en somme directe orthogonale avec lui[5]. Dès lors, quitte à travailler en restriction à un tel supplémentaire, on peut se contenter d'étudier les formes quadratiques non dégénérées. Ceci explique quelques différences de formulation dans les énoncés des théorèmes, selon que les auteurs se placent ou non dans le cas de formes quadratiques non dégénérées. Dans ce cadre, le théorème d'annulation peut être démontré par récurrence sur la dimension de U, en faisant intervenir une transformation de Householder[6].

Le théorème d'extension peut être renforcé, en imposant que l'image d'un certain supplémentaire orthogonal de U soit un certain supplémentaire orthogonal de son image. On démontre facilement que cette version renforcée est équivalente au théorème d'annulation[7]. Dans le théorème de décomposition, l'existence de la décomposition peut être obtenue par des moyens élémentaires, ce sont les propriétés d'invariance qui découlent de l'un des deux autres théorèmes.

Selon le théorème de décomposition de Witt, il est possible d'associer à une forme quadratique q trois composantes bien définies : le radical, la partie hyperbolique et la partie anisotrope (éventuellement réduite à l'espace nul). Les deux premières sont totalement décrites par leur dimension. On définit donc l'indice de Witt i(q)=N comme le nombre de plans hyperboliques qui engendrent la partie hyperbolique. Dans le cas non dégénéré il peut aussi être défini comme la dimension du plus grand sous-espace totalement isotrope.

Ces éléments permettent par exemple de retrouver le théorème d'inertie de Sylvester classifiant les formes quadratiques réelles[8].

On peut s'intéresser aux classes d'isomorphismes des parties anisotropes de toutes les formes quadratiques. Les opérations de somme directe orthogonale et de produit tensoriel passent au quotient dans la relation d'équivalence utilisée. L'ensemble W(K) des classes d'équivalence possède donc des lois internes ${\displaystyle \oplus }$, avec pour élément neutre l'espace nul, et ${\displaystyle \otimes }$[9].